MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 254

Pochodna jest dodatnia tam, gdzie wykres funkcji rośnie. Z odczytu wykresu funkcja rośnie od minimum dla $x=-1$ do maksimum dla $x=1$ oraz na prawo od minimum dla $x=3$.

Pochodne poszczególnych funkcji i sum wynoszą:

Uwzględniamy przy tym, że wszystkie funkcje zawierające $g$ lub $h$ nie są określone dla $x=0$.

$f'(x)=15x^2-180x+165=15(x-1)(x-11)$.

a) Oba argumenty są mniejsze od $1$, więc obie wartości pochodnej są dodatnie; ich iloczyn jest dodatni.

b) Dla $-33$ i dla $33$ oba czynniki liniowe mają jednakowe znaki, zatem obie wartości pochodnej są dodatnie.

c) Znaki pochodnej dla argumentów $\frac12$, $\frac32$, $\frac{23}{2}$ to kolejno $+$, $-$, $+$, więc iloczyn jest ujemny.

d) Niech $u=\frac2{\sqrt5}$ i $v=\frac{\sqrt5}{2}$. Wtedy $f'(u)-f'(v)=(u-v)(15(u+v)-180)$. Mamy $u<v$ oraz $u+v<12$, więc oba czynniki są ujemne, a ich iloczyn dodatni.

Pochodna $w'(x)=3x^2+2ax+b$ ma być dodatnia poza przedziałem $[-1;5]$ i ujemna wewnątrz. Ponieważ jej współczynnik wiodący jest dodatni, jej zerami muszą być $-1$ i $5$. Stąd

Porównanie współczynników daje $2a=-12$ i $b=-15$.

Obie liczby należą do $(1;3)$. Ponadto $a>b$, ponieważ po podniesieniu dodatnich liczb do potęgi dwunastej otrzymujemy $a^{12}=4^4=256>27=3^3=b^{12}$.

Dla $x\in(1;3)$ pochodna funkcji wynosi

Funkcja jest więc malejąca na przedziale zawierającym $b<a$. Zatem $f(a)<f(b)$.

Krawędzie mają długości $a$, $2a$ i $c$. Z warunku $4(a+2a+c)=1$ otrzymujemy $c=\frac14-3a$. Wszystkie długości są dodatnie, więc $0<a<\frac1{12}$.

Pole powierzchni wynosi

Pochodna $p'(a)=-28a+\frac32$ zeruje się dla $a=\frac3{56}$, jest dodatnia przed tym punktem i ujemna po nim.

a) Dla $x>0$ mamy $f'(x)=-\frac1{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}<0$. Wartość w $0$ dołącza się jako koniec przedziału malejącego.

b) Dla $x>0$ mamy $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}-1$. Pochodna jest dodatnia dla $0<x<\frac14$ i ujemna dla $x>\frac14$.

c) Dziedziną jest $(0;\infty)$, a $f'(x)=\frac{x-1}{2x^{3/2}}$. Zatem znak pochodnej jest ujemny przed $1$ i dodatni po $1$.

Punkt oddala się od zera wtedy, gdy jego odległość rośnie. Mamy

Dla $t\ge0$ pochodna jest dodatnia, gdy $0\le t<3$ lub $t>5$.

Dla $x\ne0$ mamy $f'(x)=1+\frac1{x^2}>0$, więc funkcja jest rosnąca na $(0;\infty)$. Jeśli $x>\sqrt2$, to