MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 252

Prędkość wynosi $v(t)=x'(t)=30t-3t^2$. Jest to parabola skierowana ramionami w dół. Jej wierzchołek ma odciętą $t=-\frac{30}{2(-3)}=5$, która należy do obserwowanego przedziału $[0;13]$.

Prędkości to $v_1(t)=6t+m$ oraz $v_2(t)=4t+6$. Dla $t=5$ warunek równości daje $30+m=26$, stąd $m=-4$.

Średnia prędkość od $t_1$ do $t_2$ jest równa $\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1} =2(t_1+t_2)+7$.

Prędkość chwilowa wynosi $v(t)=s'(t)=4t+7$. Dla $t_0=\frac{t_1+t_2}{2}$ mamy $v(t_0)=4\cdot\frac{t_1+t_2}{2}+7 =2(t_1+t_2)+7$, czyli dokładnie prędkość średnią.

Prędkość wynosi $v(t)=3t^2-6t+2$. Mamy $v(2)=2$ i $v(3)=11$, więc ich średnia arytmetyczna to $\frac{13}{2}$.

Rozwiązujemy $3t^2-6t+2=\frac{13}{2}$. Otrzymujemy $2t^2-4t-3=0$, zatem $t=1\pm\frac{\sqrt{10}}2$. Tylko $t=1+\frac{\sqrt{10}}2$ należy do przedziału $(2;3)$.

a) $a(t)=v'(t)=2+2t$, więc $a(2)=6\ \mathrm{m/s^2}$ i $a(5)=12\ \mathrm{m/s^2}$.

b) $a(t)=v'(t)=6t^2+6t$, więc $a(2)=36\ \mathrm{m/s^2}$ i $a(5)=180\ \mathrm{m/s^2}$.

Przyspieszenie jest pochodną prędkości, a gdy podano położenie — drugą pochodną położenia.

a) $a(t)=8$.

b) $a(t)=\frac{2t-4}{3}=\frac23t-\frac43$.

c) $v(t)=6t+4$, więc $a(t)=6$.

d) $x(t)=\frac53t^3+\frac32t^2+5t+3$, zatem $v(t)=5t^2+3t+5$ i $a(t)=10t+3$.

Skoro $x'(t)=v(t)=4t+3$, to $x(t)=2t^2+3t+C$. Zgodnie z danymi po pierwszej sekundzie położenie wynosi $x(1)=9$, więc $2+3+C=9$ i $C=4$.