MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 251

Prędkości wynoszą $v_1(t)=3t^2-10t+6$, $v_2(t)=2t^2-3t-4$. Warunek $v_1(t)<v_2(t)$ jest równoważny $t^2-7t+10=(t-2)(t-5)<0$, co zachodzi między pierwiastkami.

Z wykresu prędkości odczytujemy miejsca zerowe $t=1$ i $t=3$. Na wykresie położenia odpowiadają im wartości $x(1)=8$ oraz $x(3)=4$. Ponieważ są dodatnie, są zarazem odległościami punktu od początku osi.

Z danych: $x(2)=4+2p+q=15$, $x(5)=25+5p+q=45$. Po odjęciu równań otrzymujemy $3p=9$, więc $p=3$ i $q=5$. Prędkość wynosi $v(t)=2t+p=2t+3$, zatem $v(4)=11\ \mathrm{m/s}$.

Dla fizycznego czasu $t\ge0$: $v_1(t)=6t^2-6t-8$, $v_2(t)=12t^2+8t-1$. Różnica $v_2(t)-v_1(t)=6t^2+14t+7$ jest dodatnia dla każdego $t\ge0$. Zatem druga prędkość jest zawsze większa i równość nie zachodzi w żadnym momencie ruchu.

a) $x_A(0)=1$, $x_B(0)=5$.

b) Odległości to wartości bezwzględne różnic położeń: dla $t=0$: $4\ \mathrm m$; dla $t=2$: $\left|\frac{94}{3}-\frac{71}{3}\right|=\frac{23}{3}\ \mathrm m$; dla $t=3$: $\left|\frac{221}{4}-49\right|=\frac{25}{4}\ \mathrm m$.

c) $v_A(t)=t^2+6t+4$, a $v_B(t)=2t^2+\frac12t+10$.

d) Nierówność $v_A(t)>v_B(t)$ daje $t^2-\frac{11}{2}t+6<0$. Jej pierwiastki to $\frac32$ i $4$, więc zachodzi między nimi.