MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 250

Prędkości chwilowe wynoszą $v_1(t)=6t+8$ oraz $v_2(t)=2$. Warunek $v_1(t)=10v_2(t)$ daje $6t+8=20$, stąd $t=2$.

Ze skanu odczytujemy punkty $A(0,1)$, $B(2,4)$ i $C(4,9)$. Dla $x(t)=at^2+bt+c$ otrzymujemy $c=1$ oraz układ $4a+2b=3$, $16a+4b=8$. Stąd $a=\frac14$ i $b=1$.

Prędkość wynosi $v(t)=x'(t)=\frac12t+1$. Zatem $v(1)=\frac32$, a $v(7)=\frac92$, więc druga prędkość jest trzy razy większa.

Prędkości wynoszą $v_1(t)=3{,}2t-6{,}4$ i $v_2(t)=0{,}6t-9{,}6$. Pierwszy punkt zatrzymuje się dla $t=2$, a drugi dla $t=16$.

Ich położenia po zatrzymaniu: $x_1(2)=1{,}6\cdot4-6{,}4\cdot2=-6{,}4$, $x_2(16)=0{,}3\cdot256-9{,}6\cdot16=-76{,}8$. Odległość wynosi $|-6{,}4-(-76{,}8)|=70{,}4$.

Z równania $0{,}8t^2=28{,}8$ otrzymujemy $t=6\ \mathrm s$. Prędkość chwilowa: $v(t)=s'(t)=1{,}6t$, więc $v(6)=9{,}6\ \mathrm{m/s}$. Po przeliczeniu na kilometry na godzinę: $9{,}6\cdot3{,}6=34{,}56\ \mathrm{km/h}$.

a) $h(t)=t(7{,}84-4{,}9t)$. Dodatni moment, w którym $h(t)=0$, to $t=\frac{7{,}84}{4{,}9}=1{,}6\ \mathrm s$.

b) $v(t)=h'(t)=7{,}84-9{,}8t$.

c) Największa wysokość jest osiągana, gdy $v(t)=0$, czyli dla $t=0{,}8\ \mathrm s$. Wtedy $h(0{,}8)=7{,}84\cdot0{,}8-4{,}9\cdot0{,}8^2 =3{,}136\ \mathrm m$.

Z równania $x_1(t)=x_2(t)$ dostajemy $t^2-8t+7=(t-1)(t-7)=0$. Wspólne położenia występują więc dla $t=1$ i $t=7$.

Prędkości: $v_1(t)=6t^2+14t+10$, $v_2(t)=6t^2+12t+18$. Dla $t=1$ otrzymujemy odpowiednio $30$ i $36$, a dla $t=7$ odpowiednio $402$ i $396$.