MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 249

Korzystamy ze wzoru $v_{\mathrm{śr}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$. Mamy $x(0)=0$, $x(1)=5$ i $x(2)=18$.

a) $\frac{5-0}{1-0}=5\ \mathrm{m/s}$.

b) $\frac{18-5}{2-1}=13\ \mathrm{m/s}$.

c) $\frac{18-0}{2-0}=9\ \mathrm{m/s}$.

Prędkość jest pochodną położenia: $v(t)=x'(t)=t^2-t+1$. Podstawiamy kolejne chwile: $v(1)=1$, $v(2)=3$, $v(3)=7$, $v(4)=13$.

Prędkość kuli wynosi $v(t)=h'(t)=39{,}2-9{,}8t$. Stąd $v(1)=29{,}4\ \mathrm{m/s}$, $v(7)=-29{,}4\ \mathrm{m/s}$.

Wartości bezwzględne prędkości są równe, ale przeciwne znaki oznaczają przeciwne kierunki ruchu.

a) Rozwiązujemy $36t-6t^2=54$: $(t-3)^2=0$, więc przejazd trwał $3$ godziny.

b) $s(0)=0$, $s(1)=30$, $s(2)=48$, $s(3)=54$. Średnie prędkości wynoszą: w pierwszej godzinie $30\ \mathrm{km/h}$, w drugiej $18\ \mathrm{km/h}$, na całej trasie $\frac{54}{3}=18\ \mathrm{km/h}$.

c) $v(t)=s'(t)=36-12t$, więc $v(1)=24\ \mathrm{km/h}$ i $v(2)=12\ \mathrm{km/h}$.

Dla $s(t)=vt$ średnia prędkość jest równa $\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1} =\frac{v(t_2-t_1)}{t_2-t_1}=v$. Prędkość chwilowa także wynosi $s'(t)=v$.

a) W $n$ godzinach jest $3600n$ sekund, więc $s(n)=30\cdot3600n=108\,000n\ \mathrm{km}$.

b) Godzina lekcyjna trwa $45$ minut, czyli $2700$ sekund. Ziemia pokonuje $30\cdot2700=81\,000\ \mathrm{km}$.