MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 24

Na gałęzi tangensa w $\left(-\frac\pi2;\frac\pi2\right)$ funkcja jest rosnąca i każdą wartość przyjmuje dokładnie raz. Korzystamy z wartości dla kątów szczególnych:

$$\operatorname{tg}\frac\pi3=\sqrt3,\quad \operatorname{tg}\left(-\frac\pi4\right)=-1,$$ $$\operatorname{tg}0=0,\quad \operatorname{tg}\left(-\frac\pi6\right)=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Cotangens ma okres $\pi$. Najpierw odczytujemy rozwiązanie w $(0;\pi)$, a drugie otrzymujemy przez odjęcie $\pi$.

$$\operatorname{ctg}\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1,$$ $$\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{6}=-\sqrt3,\quad \operatorname{ctg}\frac\pi2=0.$$

a) Z równania $\sin x=\operatorname{ctg}x$ otrzymujemy, po pomnożeniu przez $\sin x$,

$$\sin^2x=\cos x.$$

Dla $c=\cos x$ mamy $1-c^2=c$, więc jedyną dopuszczalną wartością jest $c=\frac{\sqrt5-1}{2}$. Daje ona dwa rozwiązania w każdym okresie $2\pi$.

b) Analogicznie $\cos x=\operatorname{tg}x$ prowadzi do $\cos^2x=\sin x$, a więc również do dwóch rozwiązań w okresie. Każdy z przedziałów ma długość $20\pi$, czyli obejmuje dziesięć okresów.

Mamy

$$x_A=-\frac{101\pi}{3},\qquad y_A=\operatorname{tg}\left(-\frac{101\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac\pi3=\sqrt3.$$

W symetrii środkowej względem $S=(2\pi,0)$ zachodzi $B=2S-A$, więc

$$x_B=4\pi+\frac{101\pi}{3}=\frac{113\pi}{3},qquad y_B=-\sqrt3.$$

Miejsca zerowe tangensa mają postać $x=k\pi$, a cotangensa $x=\frac\pi2+k\pi$.

a) Dla $k=-5,-4,-3,-2$ otrzymujemy cztery zera.

b) W przedziale leży pięć odpowiednich nieparzystych wielokrotności $\frac\pi2$.

c) Od $\frac{11\pi}{2}$ do $\frac{29\pi}{2}$ jest ich dziesięć.

d) W $\langle0;11\rangle$ leżą $0,\pi,2\pi,3\pi$.

a) Równość $\operatorname{tg}x=\operatorname{ctg}x$ jest równoważna $\operatorname{tg}^2x=1$. Stąd $x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{2}$ i wybieramy osiem wartości z zadanego przedziału.

b) Dla $t=\operatorname{tg}x$ nierówność ma postać

$$t>\frac1t,$$

czyli jest spełniona dla $t\in(-1;0)\cup(1;+\infty)$. Odczytujemy odpowiednie fragmenty każdej gałęzi tangensa, pamiętając o punktach, w których cotangens nie jest określony.

Porównujemy argumenty z $\frac\pi2\approx1{,}57$ i $\pi\approx3{,}14$.

a) $3$ leży w II ćwiartce, więc $\operatorname{tg}3<0$.

b) $1$ leży w I ćwiartce, więc $\operatorname{ctg}1>0$.

c) $2$ leży w II ćwiartce, więc $\operatorname{tg}2<0$.

d) $\frac32<\frac\pi2$, więc $\operatorname{tg}\frac32>0$.