MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 248

a) $f'(x)=2\sin x\cos x=\sin2x$, więc $g(x)=\sin2x$ i $g'(x)=2\cos2x$.

b) Z reguły łańcuchowej $f'(x)=2x\cos(x^2)$, zatem $g'(x)=2\cos(x^2)-4x^2\sin(x^2)$.

a) $(\cos^2x)'=2\cos x(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin2x$.

b) $(\tan^2x)'=2\tan x\cdot\frac1{\cos^2x} =\frac{2\sin x}{\cos^3x} =\frac{\sin2x}{\cos^4x}$.

c) $(\cot^2x)'=2\cot x\left(-\frac1{\sin^2x}\right) =-\frac{2\cos x}{\sin^3x} =-\frac{\sin2x}{\sin^4x}$.

W każdym podpunkcie otrzymaliśmy prawą stronę żądanej równości.

a) $f(x)^2=x^2+1$ oraz $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Stąd $\frac1{f(x)^2}+f'(x)^2 =\frac1{x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1}=1$.

b) $f(x)^4=x^4+1$ i $f'(x)=\frac{x^3}{(x^4+1)^{3/4}}$. Ponieważ pierwiastek sześcienny jest rzeczywisty, $\sqrt[3]{f'(x)}=\frac{x}{(x^4+1)^{1/4}}$. Zatem $\frac1{f(x)^4}+f'(x)\sqrt[3]{f'(x)} =\frac1{x^4+1}+\frac{x^4}{x^4+1}=1$.

Mamy $f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=-\frac{x}{f(x)}$. Równanie stycznej w punkcie $(x_0,f(x_0))$ ma postać $y-f(x_0)=-\frac{x_0}{f(x_0)}(x-x_0)$. Mnożymy przez $f(x_0)$: $f(x_0)y-f(x_0)^2=-x_0x+x_0^2$. Ponieważ $f(x_0)^2=4-x_0^2$, po uporządkowaniu otrzymujemy $x_0x+f(x_0)y=4$.

Punkty przecięcia spełniają $\cos x=\cos2x=2\cos^2x-1$. Stąd $(2\cos x+1)(\cos x-1)=0$. W przedziale $(0;\pi)$ otrzymujemy $x_0=\frac{2\pi}{3}$ oraz $y_0=-\frac12$.

Dla $f$ współczynnik kierunkowy stycznej wynosi $f'(x_0)=-\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}$. Dla $g$: $g'(x_0)=-2\sin\frac{4\pi}{3}=\sqrt3$. Iloczyn współczynników jest równy $-\frac32$, a nie $-1$.

Niech $q(x)=x^2+(a-1)x+a+1$. Wtedy $f'(x)=2q(x)(2x+a-1)$. Wykres pochodnej przechodzi przez początek układu, gdy $f'(0)=2(a+1)(a-1)=0$. Zatem $a=-1$ lub $a=1$.

Dzieląc licznik i mianownik przez $x^2$, otrzymujemy $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\frac69=\frac23$, niezależnie od $a$.

Ponadto $f'(x)=\frac{12ax}{(3x+a)^3}$. Licznik ma stopień $1$, a mianownik stopień $3$, więc $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$. Liczby $\frac23$ i $0$ nie są równe dla żadnego $a$.

Jeśli $f$ jest parzysta, to $f(-x)=f(x)$. Różniczkując obie strony względem $x$, dostajemy $-f'(-x)=f'(x)$, czyli $f'(-x)=-f'(x)$. Pochodna jest więc nieparzysta.

Jeśli $f$ jest nieparzysta, to $f(-x)=-f(x)$. Po zróżniczkowaniu: $-f'(-x)=-f'(x)$, zatem $f'(-x)=f'(x)$. Pochodna jest parzysta.