MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 247

Stosujemy regułę iloczynu i regułę łańcuchową, a następnie wyłączamy wspólne czynniki:

\text{a)}\;&f'(x)=6(2x+3)(2x-7),\\ \text{b)}\;&f'(x)=2\left(\frac x3-2\right)^2(5-2x),\\ \text{c)}\;&f'(x)=30x(3x-1)(2x+1)^2. \end{aligned}$$ **d)** Dla $x>0$ można rozwinąć iloczyn: $f(x)=1-\sqrt x-x+x\sqrt x$. Stąd $$f'(x)=-\frac1{2\sqrt x}-1+\frac32\sqrt x =\frac{3x-2\sqrt x-1}{2\sqrt x}.$$

Korzystamy z reguły łańcuchowej i wzoru na pochodną ilorazu:

\text{a)}\;&f'(x)=\frac3{\cos^2(3x-5)},\\ \text{b)}\;&f'(x)=\frac{\sin x}{2\cos^2x},\\ \text{c)}\;&f'(x)=-2\sin x-\frac{\sin x}{\cos^2x},\\ \text{d)}\;&f'(x)=2\sin2x. \end{aligned}$$ W b) i c) zachowujemy dziedziny funkcji podanych w poleceniu, także gdy wyrażenie da się algebraicznie skrócić.

W podpunkcie a) skan strony źródłowej podaje $g(x)=\sqrt{f(x)}+\frac1{f(x)}$; w transkrypcji Markdown znak pierwiastka został błędnie rozciągnięty na całą sumę.

a)

$g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}-\frac{f'(x)}{[f(x)]^2},$

więc $g'(x_0)=5-80=-75$.

b) $g'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{3+f(x)}}$, zatem $g'(x_0)=\frac{24}{2\cdot3}=4$.

c) $g'(x)=-\frac{4f'(x)}{(4f(x)+5)^2}$, więc $g'(x_0)=-\frac{28}{49}=-\frac47$.

d) $g'(x)=-\frac{6f(x)f'(x)}{(3[f(x)]^2+1)^2}$, stąd $g'(x_0)=-\frac{48}{16}=-3$.

Badamy znak pochodnej z uwzględnieniem jej dziedziny.

a) $f'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x-8}}$, więc $f'(x)>0$ dla $x\in(4,\infty)$.

b) Dla $u=-2+3x-8x^2<0$ mamy $f'=4u^3(3-16x)$, zatem pochodna jest dodatnia dla $x>\frac3{16}$.

c) $f'(x)=\frac{x-6}{\sqrt{x^2-12x+40}}$, a wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie. Otrzymujemy $x>6$.

d) $f'(x)=\frac{2(3-x)}{(x^2-6x+5)^2}$, więc po wykluczeniu miejsc zerowych mianownika wynik to $(-\infty,1)\cup(1,3)$.

e) $f'(x)=3(x-1)\sqrt{x^2-2x-24}$ we wnętrzu dziedziny, stąd $f'(x)>0$ dla $x>6$.

f) $f'(x)=-\frac{4(x+1)}{(x^2+2x-3)^3}$. Analiza znaków przy punktach $-3,-1,1$ daje $(-\infty,-3)\cup(-1,1)$.

Pochodna funkcji ma postać

$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$

W punktach $(-1,\frac12)$ i $(1,\frac12)$ współczynniki kierunkowe wynoszą odpowiednio $\frac12$ i $-\frac12$. Styczne mają równania

$y=\frac12x+1,\qquad y=-\frac12x+1.$

Przecinają oś $OX$ w punktach $(-2,0)$ i $(2,0)$, a siebie w $(0,1)$. Trójkąt ma zatem podstawę długości $4$ i wysokość $1$.

Mamy

$f'(x)=2\left(\frac23x-8\right)^2.$

Dla $x=6$ współczynnik wynosi $32$, a $P=(6,-64)$, więc $k:y=32x-256$. Drugi punkt o tej samej wartości pochodnej spełnia $\frac23x-8=4$, zatem $Q=(18,64)$ i $l:y=32x-512$.

Prosta równoległa, jednakowo odległa od dwóch prostych, ma wyraz wolny będący średnią ich wyrazów wolnych:

$\frac{-256-512}{2}=-384.$

Dla $x^3-3x\ne0$ pochodna ma postać

$f'(x)=\frac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^3-3x)^2}}.$

Styczne poziome występują dla $x=\pm1$. Odpowiadające wartości funkcji to $f(1)=-\sqrt[3]2$ oraz $f(-1)=\sqrt[3]2$. Aby jedna z tych stycznych pokryła się z osią $OX$, trzeba odpowiedni punkt przesunąć na wysokość zero.