MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 246

Podstawiamy wzór funkcji $g$ jako argument funkcji $f$.

a) $h(x)=(2x-1)^2-1=4x^2-4x$, $D_h=\mathbb R$.

b) $h(x)=\frac1{x^2+4x+4}=\frac1{(x+2)^2}$, zatem $D_h=\mathbb R\setminus\{-2\}$.

c) $h(x)=\sqrt{x^2+|x|}-x^2-|x|$. Ponieważ $x^2+|x|\ge0$, $D_h=\mathbb R$.

d)

=\frac{2(x^2+1)}{x^2-1}.$$ Muszą istnieć $g(x)$ i odwrotność jego wartości, więc $D_h=\mathbb R\setminus\{-1,1\}$.

W odpowiedniej kolejności podstawiamy funkcje:

D_h=\mathbb R\setminus\{-2\},$$ $$k(x)=g(f(x))=\frac2x+4,\qquad D_k=\mathbb R\setminus\{0\}.$$ Wykres $h$ jest hiperbolą otrzymaną z $y=\frac1x$ przez przesunięcie i skalowanie, z asymptotami $x=-2$, $y=0$. Wykres $k$ ma asymptoty $x=0$, $y=4$.

Dla $x\ne1$ wartość $f(x)$ jest określona. Ponadto $f(x)\ne1$, bo równanie $\frac{x}{x-1}=1$ prowadziłoby do sprzeczności $0=-1$. Możemy więc obliczyć

\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac{x}{x-1}-1} =\frac{\frac{x}{x-1}}{\frac1{x-1}}=x.$$

Korzystamy z reguły łańcuchowej:

\text{a)}\;&f'(x)=6x^2(x^3+1),\\ \text{b)}\;&f'(x)=\left(\frac x3-2\right)^2,\\ \text{c)}\;&f'(x)=2(4x^3-2)(x^4-2x+1),\\ \text{d)}\;&f'(x)=4(3x^2-2x)(x^3-x^2)^3,\\ \text{e)}\;&f'(x)=9(x^2+1)(x^3+3x)^2,\\ \text{f)}\;&f'(x)=4\left(\frac{3x^2}{5}+1\right) \left(\frac{x^3}{5}+x\right)^3. \end{aligned}$$

Dla pierwiastka $\sqrt{u(x)}$ pochodna ma postać $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ tam, gdzie $u(x)>0$. Otrzymujemy:

&f'(x)&D_{f'}\\ \hline \text{a)}&\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x-15}}&(-\infty,-5)\cup(3,\infty)\\ \text{b)}&\frac{1-12x}{2\sqrt{1+x-6x^2}}&(-\frac13,\frac12)\\ \text{c)}&\frac{4x-6}{\sqrt{4x^2-12x+9}}&\mathbb R\setminus\{\frac32\}\\ \text{d)}&\frac{4x-3}{2\sqrt{6-3x+2x^2}}&\mathbb R\\ \text{e)}&\frac{3x^2+10x-1}{2\sqrt{x^3+5x^2-x-5}}&(-5,-1)\cup(1,\infty)\\ \text{f)}&\frac{2x^3}{\sqrt{x^4-1}}&(-\infty,-1)\cup(1,\infty) \end{array}$$ Dziedziny samych funkcji obejmują dodatkowo końce odpowiednich przedziałów; w c) funkcja to $|2x-3|$ i nie jest różniczkowalna w $\frac32$.

a)

$h(x)=\sqrt{x^2}=|x|,\quad D_h=\mathbb R,$

$k(x)=(\sqrt x)^2=x,\quad D_k=[0,\infty).$

b) Funkcja $|x|$ ma pochodną równą $\frac{x}{|x|}$ dla $x\ne0$ i nie ma pochodnej w zerze. Funkcja $k$ jest ograniczeniem funkcji tożsamościowej do półosi; jej pochodna wynosi $1$ w punktach wewnętrznych dziedziny.

Niech $u(x)=\frac{2x}{x^2+1}$. Dla $u(x)\ne0$ reguła łańcuchowa daje

u'(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.$$ Styczna jest pozioma, gdy licznik znika, czyli dla $x=\pm1$. Wtedy $u(1)=1$, $u(-1)=-1$, zatem również $f(1)=1$ i $f(-1)=-1$.

Mamy $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$. Dla $a=-\frac5{12}$ otrzymujemy $f(a)=\frac{13}{12}$, $f'(a)=-\frac5{13}$, więc pierwsza styczna ma równanie

$y=-\frac5{13}x+\frac{12}{13}.$

Dla $b=\frac34$ mamy $f(b)=\frac54$, $f'(b)=\frac35$, zatem druga styczna to

$y=\frac35x+\frac45.$

Rozwiązanie układu tych dwóch równań daje $x=\frac18$ i $y=\frac78$.