MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 245

Szukamy dowolnych funkcji pierwotnych; stałą całkowania można wybrać równą zeru. Odwracając regułę potęgową, dostajemy przykładowo:

\text{a)}\;&f(x)=3x^2-2x,\\ \text{b)}\;&f(x)=6x^3-2x^2+5x,\\ \text{c)}\;&f(x)=2x^7-6x^4-4x^3+4x^2-x. \end{aligned}$$ Bezpośrednie zróżniczkowanie każdej funkcji daje pochodną z polecenia.

Ze wzoru na pochodną ilorazu:

=\frac{x^2-6x-12}{(x-3)^2}.$$ Dzieląc licznik i mianownik przez $x^2$, otrzymujemy granicę równą ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach, czyli $1$.

Pochodna ma postać

$f'(x)=3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2.$

Jej wykres jest parabolą o wierzchołku $(1,2)$ i przecina oś $OY$ na wysokości $5$.

a) Dla $2<k<5$ prosta $y=k$ przecina parabolę w dwóch punktach o dodatnich odciętych.

b) Co najmniej jedno dodatnie rozwiązanie występuje dla $k\ge2$.

c) Dokładnie jedno rozwiązanie dodatnie występuje dla $k=2$ oraz dla $k\ge5$: przy $k=5$ drugie rozwiązanie jest zerem, a dla $k>5$ jest ujemne.

Prosta ma współczynnik kierunkowy $-3$.

Dla pierwszej funkcji $f'(x)=\frac{12x}{(x^2+1)^2}$. W punkcie $x=-1$ mamy $f(-1)=6$ i $f'(-1)=-3$, więc styczna w $(-1,6)$ ma równanie $y-6=-3(x+1)$, czyli $y=3(1-x)$.

Dla $g(x)=(x^2-4)(x-1)$ mamy $g'(x)=2x(x-1)+x^2-4$. W punkcie $x=1$ otrzymujemy $g(1)=0$ i $g'(1)=-3$, zatem styczna ma to samo równanie $y=-3(x-1)$.

Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu oraz z tożsamości $\sin^2x+\cos^2x=1$:

\text{a)}\;&f'(x)=\frac1{\cos^2x},\\ \text{b)}\;&f'(x)=-\frac1{\sin^2x},\\ \text{c)}\;&f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2x}+\frac{\sin x}{\cos^2x},\\ \text{d)}\;&f'(x)=-\frac2{(\sin x-\cos x)^2}. \end{aligned}$$ Każdy wzór obowiązuje tam, gdzie określona jest funkcja wyjściowa.

a) Równanie przecięcia $x^3=-\frac13x+\frac43$ ma jedyne rozwiązanie $x=1$, więc punkt przecięcia to $(1,1)$. Współczynniki stycznych wynoszą $3$ i $-\frac13$, a ich iloczyn to $-1$. Kąt ma zatem $90^\circ$.

b) Równanie przecięcia po pomnożeniu przez $(x+1)^3$ daje $(x+1)^2=3x+1$, czyli $x(x-1)=0$. Punkty to $(0,1)$ i $(1,\frac12)$. Pochodne mają postać

g'(x)=-\frac{6x}{(x+1)^4}.$$ Dla $x=0$ współczynniki to $-1$ i $0$, więc $\alpha=45^\circ$. Dla $x=1$ są równe $-\frac14$ i $-\frac38$, zatem $$\tan\alpha=\left|\frac{-1/4+3/8}{1+3/32}\right|=\frac4{35}.$$