MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 244

Przykładem jest $f(x)=\sqrt{x}$. Jej dziedzina to $[0,\infty)$, natomiast

$f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$

istnieje tylko dla $x>0$. Punkt $0$ należy więc do dziedziny funkcji, lecz nie należy do dziedziny jej pochodnej.

Ze wzoru na pochodną ilorazu:

=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}.$$ Wzór obowiązuje dla $x\ne-\frac dc$.

Szukamy punktów, w których $f'(x)=-2$.

a) $f'(x)=\frac7{(x+5)^2}>0$, więc takich punktów nie ma.

b) $f'(x)=2-\frac1{x^2}$. Z równania $2-\frac1{x^2}=-2$ mamy $x=\pm\frac12$.

c) $f'(x)=\frac{(x+2)(x-4)}{(x-1)^2}$. Po przyrównaniu do $-2$ i uproszczeniu otrzymujemy $x^2-2x-2=0$, czyli $x=1\pm\sqrt3$.

Po zapisaniu pierwiastków jako potęg otrzymujemy:

\text{a)}\;&f'(x)=-15x^4+x-\frac3{4\sqrt x},\\ \text{b)}\;&f'(x)=5+\frac1{x^{3/2}},\\ \text{c)}\;&f'(x)=-3x^2+\frac3{2\sqrt x},\\ \text{d)}\;&f'(x)=\frac5{2\sqrt x}+\frac7{2x^2}. \end{aligned}$$ We wszystkich podpunktach pochodne istnieją dla $x>0$.

a) Rozwijamy kwadrat:

$[(ax+b)^2]'=[a^2x^2+2abx+b^2]'=2a^2x+2ab=2a(ax+b).$

b) Po rozwinięciu sześcianu:

$[(ax+b)^3]'=[a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3]'$

$=3a^3x^2+6a^2bx+3ab^2=3a(ax+b)^2.$

Traktujemy iloczyn jako iloczyn dwóch czynników i stosujemy regułę wielokrotnie:

(fgh)'&=(fg)'h+fgh'=f'gh+fg'h+fgh',\\ (fghk)'&=(fgh)'k+fghk'\\ &=f'ghk+fg'hk+fgh'k+fghk'. \end{aligned}$$

Ponieważ $[(f(x))^2]'=2f(x)f'(x)$:

a) Tożsamość $2f(x)a=f(x)$, przy niezerowej funkcji liniowej, wymaga $2a=1$. Zatem $a=\frac12$, natomiast $b$ jest dowolne.

b) Tożsamość $2f(x)f'(x)=xf(x)$ po skróceniu jako tożsamości wielomianowej daje $2f'(x)=x$. Dla $f'(x)=2ax+b$ mamy $4ax+2b=x$, więc $a=\frac14$, $b=0$, a $c$ pozostaje dowolne.

Z założenia istnieje wielomian $q(x)$ taki, że $w(x)=(x+3)^2q(x)$. Różniczkując, dostajemy

=(x+3)\bigl(2q(x)+(x+3)q'(x)\bigr).$$ Wielomian $x+3$ jest więc czynnikiem $w'(x)$.

Dzieląc licznik i mianownik pierwszego ilorazu przez $x$, otrzymujemy

=\frac{1-1/\sqrt x}{1+1/\sqrt x}\longrightarrow1.$$ Dla $x>0$ mamy $$f'(x)=1-\frac1{2\sqrt x},\qquad g'(x)=1+\frac1{2\sqrt x},$$ zatem również $\frac{f'(x)}{g'(x)}\to1$.