MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 243

Stosujemy wzór $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ i uwzględniamy wykluczenia wynikające z mianowników. Otrzymujemy:

\text{a)}\;&-\frac6{(x-3)^2},& \text{b)}\;&\frac8{(x+4)^2},& \text{c)}\;&\frac{-2x^2+10x+20}{(5-2x)^2},\\ \text{d)}\;&-\frac{6x}{(x^2+3)^2},& \text{e)}\;&-\frac{2(x^2+x+2)}{(x^2+4x)^2},& \text{f)}\;&\frac{x(x+2)}{(x+1)^2},\\ \text{g)}\;&\frac{-5x^2+6x+1}{(x^2-3x+2)^2},& \text{h)}\;&\frac{-x^4+6x^3-12x^2+16x-24}{(x^3+8)^2},& \text{i)}\;&1+\frac2{x^3}. \end{aligned}$$

Po uproszczeniu wyrażeń i zróżniczkowaniu otrzymujemy:

\text{a)}\;&f'(x)=3x^2-2x+1-\frac2{x^2},\\ \text{b)}\;&f'(x)=14x-2,\\ \text{c)}\;&f'(x)=4+\frac4{x^2},\\ \text{d)}\;&f'(x)=\frac1{(x+1)^2}-\frac2{(x-1)^2}-\frac3{x^2}. \end{aligned}$$ W każdym podpunkcie zachowujemy wykluczenia z dziedziny pierwotnego wzoru.

Porównujemy współczynniki wielomianów po dodaniu pochodnej.

a) $ax+(b+a)=4x-7$, więc $a=4$, $b=-11$.

b) $ax^2+(b+2a)x+(c+b)=6x^2-3x+5$. Stąd $a=6$, $b=-15$, $c=20$.

c) Porównanie współczynników w $ax^3+(b+3a)x^2+(c+2b)x+(d+c)$ daje kolejno $a=2$, $b=-7$, $c=22$, $d=-26$.

Ponieważ $f'(x)=2x+4$, mamy

$g(x)=f(x)+f'(x)=x^2+6x+c+4.$

Ten trójmian nie ma miejsc zerowych dokładnie wtedy, gdy jego wyróżnik jest ujemny:

$\Delta=36-4(c+4)=20-4c<0.$

Stąd $c>5$.

Różniczkujemy dwukrotnie:

&g(x)=f'(x)&g'(x)\\ \hline \text{a)}&5x-9&5\\ \text{b)}&4x^3-30x^2+2x&12x^2-60x+2\\ \text{c)}&\frac1{x^2}&-\frac2{x^3}\\ \text{d)}&\frac1{2\sqrt x}&-\frac1{4x^{3/2}} \end{array}$$ W c) zakładamy $x\ne0$, a w d) $x>0$.

Mamy

$V(x)=x^4,\qquad P(x)=2x^2+4x^3,\qquad K(x)=8x+4x^2.$

Zatem $V'(x)=4x^3$ i $P'(x)=4x+12x^2$. Po podzieleniu liczników i mianowników przez najwyższe potęgi $x$ dostajemy

$\lim_{x\to\infty}\frac{4x^3}{2x^2+4x^3}=1,$

$\lim_{x\to\infty}\frac{4x+12x^2}{8x+4x^2}=3.$