MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 242

Stosujemy wzór $(x^r)'=rx^{r-1}$, zapisując pierwiastki jako potęgi:

\text{a)}\;&f'(x)=12x, & \text{b)}\;&f'(x)=-4x^5, & \text{c)}\;&f'(x)=-6x^{-9},\\ \text{d)}\;&f'(x)=\frac1{\sqrt{x}}, & \text{e)}\;&f'(x)=\frac3{\sqrt[3]{x^2}}, & \text{f)}\;&f'(x)=\frac2{5\sqrt{x}},\\ \text{g)}\;&f'(x)=-\frac{\sqrt2}{x^2}, & \text{h)}\;&f'(x)=-\frac2{x^2}, & \text{i)}\;&f'(x)=\frac{2\pi x}{\sqrt3}. \end{aligned}$$ W d) i f) pochodne istnieją dla $x>0$, w e) dla $x\ne0$, a w g) i h) dla $x\ne0$.

Różniczkujemy wyraz po wyrazie:

&f'(x)&f'(0)&f'(1)\\ \hline \text{a)}&\frac25x&0&\frac25\\ \text{b)}&2x^2+3&3&5\\ \text{c)}&15x^2-4x+7&7&18\\ \text{d)}&x^3+4x&0&5 \end{array}$$

Mamy $f'(x)=-6x-1$, $g'(x)=2x-3$ oraz $h'(x)=2x+1$. Dla $x=-1$ otrzymujemy odpowiednio $5$, $-5$ i $-1$. Stąd porządek rosnący to

$g'(-1)<h'(-1)<f'(-1).$

a) $f'(x)=6x-12$, więc zerem jest $x=2$.

b) $f'(x)=12x^2-6x-6=6(2x+1)(x-1)$, zatem $x=-\frac12$ lub $x=1$.

c) Dla $x\ne0$ mamy $f'(x)=1-\frac2{x^2}$. Równanie $f'(x)=0$ daje $x=\pm\sqrt2$.

d) Pochodna istnieje dla $x>0$ i wynosi $1-\frac1{\sqrt x}$; jej jedynym miejscem zerowym jest $x=1$.

a) $f'(x)=6x-4$, więc $f'(3)=14$ i $f'(1)=2$. Wyrażenie ma wartość $\frac{1-14}{3-2}=-13$.

b) $f'(x)=x^2+x$. Zatem $f'(5)=30$, $f'(4)=20$ i $(4+30)(5-20)=-510$.

c) $f'(x)=-\frac4{x^2}-\frac1{2\sqrt x}$. Mamy $f'(\frac14)=-65$ oraz $f'(1)=-\frac92$, więc $\frac{-65+2}{2(-9/2)}=7$.

a) Ze wzoru na pochodną iloczynu:

$f'=(6x-4)(2x+1)+2(3x^2-4x)=18x^2-10x-4.$

Ten sam wynik daje rozwinięcie $f(x)=6x^3-5x^2-4x$.

b) Analogicznie

=-8x^3+27x^2-20x-12.$$ Po wymnożeniu $f(x)=-2x^4+9x^3-10x^2-12x+30$, więc różniczkowanie wyraz po wyrazie prowadzi do tego samego wzoru.

Stosując $(uv)'=u'v+uv'$ i porządkując wyrazy, otrzymujemy:

\text{a)}\;&f'(x)=24x+22,\\ \text{b)}\;&f'(x)=-15x^2+14x+6,\\ \text{c)}\;&f'(x)=4x^3+21x^2+8x+28,\\ \text{d)}\;&f'(x)=-5x^4+4x^3+18x^2+10x-15,\\ \text{e)}\;&f'(x)=10x^4+8x^3-9x^2-4x-2,\\ \text{f)}\;&f'(x)=5x^4-8x^3+6x^2-4x-3. \end{aligned}$$

Można najpierw rozwinąć potęgi albo użyć reguły łańcuchowej. Otrzymujemy:

\text{a)}\;&f'(x)=2x+6, & \text{b)}\;&f'(x)=32x+8, & \text{c)}\;&f'(x)=\tfrac12x-7,\\ \text{d)}\;&f'(x)=3(x+1)^2, & \text{e)}\;&f'(x)=3(x-2)^2, & \text{f)}\;&f'(x)=6(2x+5)^2. \end{aligned}$$