MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 241

a) Dla $x\ne0$ iloraz różnicowy ma postać

=-\frac{3x^2+3xh+h^2}{x^3(x+h)^3}.$$ Po przejściu z $h$ do zera otrzymujemy $f'(x)=-\frac3{x^4}$. **b)** Niech $u=\sqrt[3]{x+h}$ i $v=\sqrt[3]x$. Ponieważ $u^3-v^3=h$, dla $h\ne0$ mamy $$\frac{u-v}{h}=\frac1{u^2+uv+v^2}.$$ Jeżeli $x\ne0$, granica wynosi $f'(x)=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}$. Dla $x=0$ iloraz różnicowy jest równy $h^{-2/3}$ i nie ma skończonej granicy, więc pochodna w zerze nie istnieje.

Mamy $f'(x)=-\frac1{x^2}$, zatem $f'(t)=f'(-t)=-\frac1{t^2}$ i styczne są równoległe. Ich równania to

\quad\text{oraz}\quad y=-\frac{x}{t^2}-\frac2t.$$ Po zapisaniu w postaci $x+t^2y\mp2t=0$ odległość prostych wynosi $$d=\frac{|2t-(-2t)|}{\sqrt{1+t^4}} =\frac{4t}{\sqrt{1+t^4}}.$$

Ponieważ $f'(x_0)=2x_0$, styczna w punkcie $A$ ma równanie

y=2x_0x-x_0^2.$$ Dla punktu przecięcia z osią $OX$ przyjmujemy $y=0$. Ponieważ $x_0\ne0$, otrzymujemy $x=\frac{x_0}{2}$, a więc $B=\left(\frac{x_0}{2},0\right)$. Jest to dokładnie środek odcinka o końcach $(0,0)$ i $(x_0,0)$.

Styczna do paraboli w punkcie o odciętej $t\ne0$ ma równanie $y=2tx-t^2$. Jej przecięcia z osiami mają odległości od początku układu $\frac{|t|}{2}$ i $t^2$, więc stosunek przyprostokątnych wynosi $2|t|$ (albo jego odwrotność).

Dla $A$ mamy $t=3$, zatem stosunek wynosi $6$. Podobieństwo zachodzi, gdy

$2|t|=6\quad\text{lub}\quad 2|t|=\frac16.$

Stąd $t=\pm3$ albo $t=\pm\frac1{12}$. Po wykluczeniu $t=3$ pozostają trzy punkty.

W punkcie $x=-2$ obie części mają wartość $\frac32$, ale ich pochodne jednostronne wynoszą odpowiednio $-\frac32$ oraz $-\frac54$, więc pochodna nie istnieje. Wewnątrz przedziału $(-2,2)$ mianownik jest dodatni, a wyrażenie pod wartością bezwzględną zmienia znak w $x=1$. Powstaje tam ostrze, więc pochodna również nie istnieje.

W punkcie $x=2$ wartości i pochodne jednostronne są zgodne ($f(2)=\frac16$, $f'_-(2)=f'_+(2)=\frac5{36}$), dlatego nie jest to trzeci punkt nieróżniczkowalności.

Styczne w punktach o odciętych $1$ i $2$ mają równania

$y=-x+2,\qquad y=-\frac14x+1.$

Przecinają się w punkcie $\left(\frac43,\frac23\right)$. Rozważany czworokąt ma więc kolejne wierzchołki

\left(\frac43,\frac23\right),\quad (2,0).$$ Ze wzoru Gaussa (lub przez podział na trójkąty) jego pole wynosi $$P=\frac12\left(\frac43+\frac43\right)=\frac43.$$

Punkty przecięcia istnieją dla $a\ge0$ i mają odcięte $x_1=-\sqrt a$, $x_2=\sqrt a$. Współczynniki kierunkowe stycznych wynoszą $m_1=-2\sqrt a$ oraz $m_2=2\sqrt a$. Proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

$m_1m_2=-4a=-1,$

czyli $a=\frac14$.