MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 240

$A=(-1,-1)$, a $f'(x)=3x^2$, więc styczna w $A$ ma współczynnik $3$:

$p:\ y+1=3(x+1),\quad\text{czyli}\quad y=3x+2.$

Punkty wspólne prostej i wykresu spełniają $x^3=3x+2$, zatem

$x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)=0.$

Drugim punktem jest $B=(2,8)$. Stąd

$|AB|=\sqrt{(2+1)^2+(8+1)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$

Szukamy rozwiązań równania $f'(x_0)=a$.

a) $2x_0=1$, więc $x_0=\frac12$ i $f(x_0)=\frac14$.

b) $3x_0^2=9$, zatem $x_0=\pm\sqrt3$. Otrzymujemy punkty $(-\sqrt3,-3\sqrt3)$ oraz $(\sqrt3,3\sqrt3)$.

c) $4x_0^3=4$, więc $x_0=1$ i $f(x_0)=1$.

Szukane styczne muszą mieć współczynnik $12$.

a) $f'(x)=2x$, więc $x_0=6$. Styczna ma równanie $y=36+12(x-6)=12x-36$.

b) $f'(x)=3x^2$. Równanie $3x_0^2=12$ daje $x_0=\pm2$. Dla $x_0=2$ otrzymujemy $y=12x-16$, a dla $x_0=-2$ — $y=12x+16$.

c) $f'(x)=-\frac1{x^2}<0$ dla każdego $x\ne0$, więc pochodna nie może być równa $12$.

Prosta prostopadła do $y=2x+5$ ma współczynnik $-\frac12$.

a) Z $2x_0=-\frac12$ mamy $x_0=-\frac14$. Styczna: $y=-\frac12x-\frac1{16}$.

b) Równanie $3x_0^2=-\frac12$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

c) Z $-\frac1{x_0^2}=-\frac12$ wynika $x_0=\pm\sqrt2$. Daje to styczne $y=-\frac12x+\sqrt2$ oraz $y=-\frac12x-\sqrt2$.

Dla $g(x)=\sqrt[3]x$ mamy $g'(x)=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}$, zatem $g'\left(\frac18\right)=\frac43$. Jest to współczynnik prostej $k$.

Dla paraboli $f'(x)=2x$.

a) Warunek $2x_0=\frac43$ daje $x_0=\frac23$. Styczna ma równanie $y=\frac43x-\frac49$.

b) Współczynnik prostopadły wynosi $-\frac34$. Zatem $2x_0=-\frac34$, czyli $x_0=-\frac38$, a styczna ma równanie $y=-\frac34x-\frac9{64}$.

Jeżeli prosta jest styczna w punkcie o odciętej $2$, to punkt $(2,2^n)$ leży na prostej. Jej rzędna dla $x=2$ wynosi

$448\cdot2-768=128=2^7,$

więc $n=7$. Dodatkowo $f'(2)=n2^{n-1}=7\cdot64=448$, czyli zgadza się również współczynnik kierunkowy.

Niech punkt styczności ma odciętą $t>0$. Ponieważ $f(t)=\frac1t$ oraz $f'(t)=-\frac1{t^2}$, styczna ma równanie

y=-\frac{x}{t^2}+\frac2t.$$ Przecina osie w punktach $(2t,0)$ i $\left(0,\frac2t\right)$. Pole ograniczonego trójkąta jest więc stałe: $$P=\frac12\cdot2t\cdot\frac2t=2.$$

Pochodna $f'(x)=-\frac1{x^2}$ jest zawsze ujemna.

a) Dla $\alpha=45^\circ$ współczynnik kierunkowy wynosi $1$. Równanie $-\frac1{x^2}=1$ nie ma rozwiązań, więc taka styczna nie istnieje.

b) Dla $\alpha=135^\circ$ współczynnik wynosi $-1$. Z równania $-\frac1{x^2}=-1$ otrzymujemy $x=\pm1$. Styczne w punktach $(1,1)$ i $(-1,-1)$ mają odpowiednio równania $y=-x+2$ i $y=-x-2$.

Styczna w $B=(2,4)$ ma współczynnik $f'(2)=4$. Współczynnik stycznej prostopadłej musi więc wynosić $-\frac14$. Jeśli $A=(x_0,x_0^2)$, to

$f'(x_0)=2x_0=-\frac14,$

skąd $x_0=-\frac18$ i $x_0^2=\frac1{64}$.

Niech $m=\tan\alpha$. Ponieważ $0<\alpha<\frac\pi2$, mamy $m>0$. Dla $x\ne0$ pochodna funkcji wynosi

$f'(x)=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}.$

Warunek $f'(x)=m$ jest równoważny $\sqrt[3]{x^2}=\frac1{3m}$, a zatem

$x^2=\frac1{(3m)^3}.$

Ma on dwa różne rozwiązania $x=\pm\left(\frac1{3m}\right)^{3/2}$, więc istnieją dwa różne punkty styczności.