MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 239

Korzystamy ze wzoru stycznej

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

a) $f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}$, więc $f(1)=1$ i $f'(1)=\frac12$. Stąd $y=1+\frac12(x-1)=\frac12x+\frac12$.

b) $f(4)=2$ i $f'(4)=\frac14$, zatem $y=2+\frac14(x-4)=\frac14x+1$.

c) Dla $f(x)=x^2$ mamy $f'(x)=2x$. W punkcie $x_0=-4$ wartości wynoszą $f(-4)=16$ i $f'(-4)=-8$, więc $y=16-8(x+4)=-8x-16$.

d) $f(4)=16$ i $f'(4)=8$, czyli $y=16+8(x-4)=8x-16$.

e) Dla $f(x)=x^3$ mamy $f'(x)=3x^2$. W punkcie $-1$: $f(-1)=-1$, $f'(-1)=3$, zatem $y=-1+3(x+1)=3x+2$.

f) $f(2)=8$ i $f'(2)=12$, więc $y=8+12(x-2)=12x-16$.

Współczynnik kierunkowy prostej nachylonej pod kątem $45^\circ$ wynosi $\tan45^\circ=1$. Dla $x>0$ mamy

$f'(x)=\frac1{2\sqrt{x}}.$

Warunek $f'(x)=1$ daje $2\sqrt{x}=1$, więc $x=\frac14$. Wtedy $f\left(\frac14\right)=\frac12$.

Stosujemy definicję

$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h.$

a) Iloraz różnicowy jest równy $\frac{3(x+h)-5-(3x-5)}h=3$, zatem $f'(x)=3$.

b) Po uproszczeniu licznika otrzymujemy

=-2x-h+4,$$ więc granica wynosi $f'(x)=-2x+4$. **c)** Mamy $$\frac{5-(x+h)^3-(5-x^3)}h =-3x^2-3xh-h^2,$$ stąd $f'(x)=-3x^2$.

Dla $f(x)=x^n$ zachodzi $f'(x)=nx^{n-1}$. Warunek z zadania ma więc postać

$n\cdot2^{n-1}=192.$

Ponieważ $192=6\cdot32=6\cdot2^5$, otrzymujemy $n=6$.

a) $f'(x)=4x^3$, więc rozwiązujemy $4x^3<500$, czyli $x^3<125$. Funkcja sześcienna jest rosnąca, zatem $x<5$.

b) Dziedzina to $x\ne0$, a $f'(x)=-\frac1{x^2}$. Nierówność

$-\frac1{x^2}<-16$

po pomnożeniu przez dodatnie $x^2$ jest równoważna $1>16x^2$, czyli $|x|<\frac14$. Po wykluczeniu zera otrzymujemy $x\in\left(-\frac14,0\right)\cup\left(0,\frac14\right)$.

Obliczamy pochodne:

$f'(x)=3x^2+2,\qquad g'(x)=4x^3,\qquad h'(x)=-2.$

Wykres $f'$ jest parabolą o wierzchołku $(0,2)$, więc odpowiada mu rysunek III. Wykres $g'$ jest rosnącą funkcją sześcienną przechodzącą przez początek układu, czyli rysunek I. Pochodna $h'$ jest stałą ujemną, zatem odpowiada jej pozioma prosta z rysunku II.