MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 238

Pochodna funkcji ma postać

$f'(x)=\frac{(x-1)-(x+35)}{(x-1)^2}=-\frac{36}{(x-1)^2}.$

Dla obu odciętych otrzymujemy

\qquad f'(-5)=-\frac{36}{(-6)^2}=-1.$$ Styczne mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc są równoległe.

Mamy $f'(x)=\frac{x}{2}$. Współczynniki kierunkowe rozważanych stycznych są więc równe

$f'(-2)=-1,\qquad f'(2)=1.$

Ich iloczyn wynosi $-1$, co oznacza, że styczne są prostopadłe.

Obliczamy pochodną:

$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2.$

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem dla każdego $x_0$ zachodzi

$f'(x_0)=3(x_0-1)^2\geqslant0.$

Funkcja $x^2-1$ jest ciągła, podobnie jak wartość bezwzględna, zatem ich złożenie jest ciągłe. W szczególności

$\lim_{x\to1}|x^2-1|=0=f(1).$

W otoczeniu punktu $1$ mamy

\begin{cases} 1-x^2,&x<1,\\ x^2-1,&x>1. \end{cases}$$ Stąd pochodna lewostronna wynosi $-2$, a prawostronna $2$. Nie są równe, więc $f'(1)$ nie istnieje.

a) Pochodna ma postać $f'(x)=6x+p^2-4$. Warunek

$f'(-2)=p^2-16=0$

daje $p=-4$ lub $p=4$.

b) Dla $x\ne-p$:

$f'(x)=\frac{(x+p)-(x-p)}{(x+p)^2}=\frac{2p}{(x+p)^2}.$

Z równania

$\frac{2p}{(p+2)^2}=-6$

otrzymujemy $3p^2+13p+12=0$, czyli

$(3p+4)(p+3)=0.$

Obie wartości $p=-\frac43$ i $p=-3$ spełniają warunek dziedziny $p\ne-2$.

Mamy

$f'(x)=3x^2+1.$

Dla każdego $x\in\mathbb R$ zachodzi $f'(x)\geqslant1$, więc równanie $f'(x_0)=-1$ nie ma rozwiązania.

Iloraz różnicowy dla przyrostu od $m$ do $m+1$ jest równy

$\frac{f(m+1)-f(m)}{1}=3m^2+3m-1.$

Jest to funkcja kwadratowa o dodatnim współczynniku przy $m^2$. Współrzędna jej wierzchołka wynosi

$m=-\frac{3}{2\cdot3}=-\frac12,$

więc dla tej wartości iloraz jest najmniejszy.

Parabola przecina oś $OX$ dla $x=0$ oraz $x=a$. Jej pochodna jest równa

$y'=-2x+a.$

Styczna nachylona pod kątem $30^\circ$ ma współczynnik $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$. Dla pierwszego miejsca zerowego otrzymujemy $a=\frac{\sqrt3}{3}$, a dla drugiego $-a=\frac{\sqrt3}{3}$. Stąd

$a=\frac{\sqrt3}{3}\quad\text{lub}\quad a=-\frac{\sqrt3}{3}.$

Istnienie pochodnej w punkcie sklejenia wymaga ciągłości oraz równości pochodnych jednostronnych.

a) Ciągłość daje $a+b=1$. Pochodna lewostronna funkcji $x^2$ w $1$ wynosi $2$, a prawostronna funkcji $ax+b$ wynosi $a$. Zatem $a=2$ i $b=-1$.

b) Ciągłość daje $a+b=-2$. Pochodne jednostronne spełniają $2a+b=1$. Po odjęciu równań otrzymujemy $a=3$, a następnie $b=-5$.