MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 237

Dla $h\ne0$ iloraz różnicowy w punkcie $2$ wynosi

$$\frac{f(2+h)-f(2)}h =\frac{(2+h)^2-4-0}{h} =\frac{4h+h^2}{h}=4+h.$$

Jeśli $h>0$, to $4+h>4$, co kończy dowód.

Badamy granice ilorazu $[f(h)-f(0)]/h$ dla $h\to0$.

a) Dla $h<0$ iloraz wynosi $1$, a dla $h>0$ wynosi $h\to0$. Granice jednostronne są różne, więc pochodna nie istnieje.

b) Iloraz $|h|/h$ dąży z lewej do $-1$, a z prawej do $1$; pochodna nie istnieje.

c) Iloraz $h|h|/h=|h|\to0$, więc $f'(0)=0$.

d) W otoczeniu zera $f(x)=4-x^2$. Iloraz $[-h^2]/h=-h\to0$, zatem $f'(0)=0$.

Najpierw sprawdzamy zgodność wartości gałęzi, a następnie pochodne jednostronne.

a) Obie gałęzie mają w $1$ wartość graniczną $2$, lecz ich pochodne wynoszą odpowiednio $-2$ z lewej i $3$ z prawej. Pochodna nie istnieje.

b) Wartość w $0$ i obie granice wynoszą $1$, lecz pochodne jednostronne to $-2$ oraz $-1$. Pochodna nie istnieje.

c) Dla $x\ne-1$ skracamy do $(x+3)/2$. Uzupełnienie wartością $1$ jest zgodne z tą funkcją liniową, więc $f'(-1)=1/2$.

d) Dla $x\ne-2$ skracamy do

$$\frac{x-2}{x^2-2x+4}.$$

Wartość uzupełniająca $-1/3$ jest zgodna z granicą. Pochodna tej funkcji w $-2$ wynosi $-1/12$.

Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy pochodnej w punkcie $x=3$. Dla $f(x)=6/x$ mamy

$$f'(x)=-\frac6{x^2},\qquad f'(3)=-\frac69=-\frac23.$$

Rozpisujemy wartości bezwzględne na przedziałach wyznaczonych przez $-1$ i $1$:

$$f(x)= \begin{cases} -2x,&x\le-1,\\ 2x^2,&-1\le x\le1,\\ 2x,&x\ge1. \end{cases}$$

Funkcja jest ciągła w punktach sklejenia. Dla $x=-1$ pochodna lewej gałęzi wynosi $-2$, a prawej $4x=-4$. Dla $x=1$ pochodna lewej gałęzi wynosi $4$, a prawej $2$. W obu punktach pochodne jednostronne są różne; poza nimi każda gałąź jest różniczkowalna.