MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 236

Pochodna jest współczynnikiem kierunkowym stycznej. Z rysunku:

• styczna pozioma jest poprowadzona dla $x=2$, więc $f'(2)=0$;
• styczna rosnąca o nachyleniu $4$ dotyka wykresu dla $x=4$, więc $f'(4)=4$;
• styczna malejąca o nachyleniu $-6$ dotyka wykresu dla $x=-1$, więc $f'(-1)=-6$.

Porównujemy wartości pochodnych dla $x=3$.

a)

$$f'(3)=-47,\qquad g'(3)=-\frac19,\qquad h'(3)=-21.$$

Największa jest $g'(3)$.

b)

$$f'(3)=-\frac1{2\sqrt3},\qquad g'(3)=-4,\qquad h'(3)=-\frac18.$$

Największa jest $h'(3)$.

Stosujemy definicję

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Po uproszczeniu ilorazów różnicowych otrzymujemy:

• a) $-2$;
• b) $2x_0+2+h\to4$;
• c) $-3x_0^2-3x_0h-h^2\to0$;
• d) $-1/[(x_0+h+1)(x_0+1)]\to-1/16$;
• e) $-1/5$;
• f) $4x_0-5+2h\to-9$;
• g) $-1/[(x_0+h-2)(x_0-2)]\to-1$;
• h) $1-1/(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0})\to3/4$.

Z definicji albo ze wzoru dla funkcji kwadratowej

$$f'(x_0)=2x_0-3.$$

Rozwiązujemy nierówność

$$2x_0-3>7,\qquad 2x_0>10,\qquad x_0>5.$$

a) Dla $f(x)=c$ i $h\ne0$:

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\frac{c-c}{h}=0.$$

b) Dla $f(x)=ax+b$:

$$\frac{a(x_0+h)+b-(ax_0+b)}h=\frac{ah}{h}=a.$$

Wynik nie zależy ani od $x_0$, ani od niezerowego przyrostu $h$.

Miejscem zerowym funkcji jest $x=6$. Dla drugiej odciętej $a\ne6$ współczynnik siecznej wynosi

$$m=\frac{f(a)-f(6)}{a-6} =\frac{(6-a)/a}{a-6}=-\frac1a.$$

Podstawienie kolejnych wartości daje $-1$, $-1/2$, $-4/25$ oraz $-1/100$.

Współczynnik stycznej to $m=f'(x_0)$, a kąt nachylenia $\alpha\in[0^\circ;180^\circ)$ spełnia $\tan\alpha=m$.

• a) $m=2(-1)+3=1$, więc $\alpha=45^\circ$.
• b) $m=-2\cdot1+1=-1$, więc $\alpha=135^\circ$.
• c) $m=6\cdot0^2-2=-2$, więc $\alpha\approx117^\circ$.
• d) $m=-1/2^2=-1/4$, więc $\alpha\approx166^\circ$.

Dla $f(x)=-x^2/2+3$ mamy $f'(x)=-x$. Warunek nachylenia brzmi $-x=\tan\alpha$.

a) Dla $30^\circ$: $x=-\sqrt3/3$, a $y=3-\frac12\cdot\frac13=17/6$.

b) Dla $45^\circ$: $x=-1$, $y=5/2$.

c) Dla $135^\circ$: $x=1$, $y=5/2$.