MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 235

Korzystamy ze wzoru $\Delta f=f(x_0+h)-f(x_0)$.

a) $f(11)-f(3)=62-14=48$.

b) $f(-3{,}5)-f(-5)=9{,}25-22=-12{,}75=-51/4$.

c) $f(1)=0$, natomiast

$$f(1{,}1)=\frac{1{,}21-1}{3{,}1}=\frac{21}{310}.$$

Z wykresu odczytujemy $f(2)=1$ oraz wartości w nowych argumentach: $f(3)=2$, $f(1)=2$, $f(4)=5$, $f(0)=0$. Zatem

$$\Delta f=f(2+h)-f(2)$$

wynosi kolejno $1$, $1$, $4$ i $-1$.

a) $f(1)=1$, a $f(1{,}5)=-1{,}5$. Stąd

$$\Delta f=-\frac52,\qquad \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{-5/2}{1/2}=-5.$$

b) $f(0)=3$, a $f(1)=3/2$. Zatem

$$\Delta f=-\frac32,\qquad \frac{\Delta f}{\Delta x}=-\frac32.$$

Liczymy $[f(x_0+h)-f(x_0)]/h$ dla $h\ne0$.

a) $((3+h)^2+1-10)/h=6+h$.

b) $[2(2+h)^2+5(2+h)-18]/h=13+2h$.

c) Ponieważ $f(-1)=-4$,

$$\frac{f(-1+h)-f(-1)}h=h^2-6h+9.$$

d)

$$\frac{12/(3+h)-4}{h}=-\frac4{h+3},\qquad h\ne-3.$$

Współczynnik siecznej przechodzącej przez punkty wykresu o odciętych $1$ i $4$ jest równy ilorazowi różnicowemu

$$a=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}.$$

a) $f(1)=1$, $f(4)=4$, więc $a=1$.

b) $f(1)=4$, $f(4)=1$, więc $a=-1$.

c) $f(1)=4$, $f(4)=1$, więc również $a=-1$.

a)

$$a=\frac{2-(-7)}{1-(-2)}=3.$$

b) Tangens kąta nachylenia jest współczynnikiem kierunkowym:

$$\tan\alpha=\frac{-1-(-4)}{4-(-8)}=\frac14.$$

c)

$$\tan\alpha=\frac{3-(-7)}{15-(-10)}=\frac25,\qquad \alpha=\arctan\frac25\approx21{,}8^\circ.$$