MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 234

a) $f(x)=(x-2)^2+2$ na $[1;3]$, więc wartość najmniejsza to $2$ dla $x=2$. Funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym; twierdzenie Weierstrassa ma zastosowanie.

b) Na $[-1;0)$ składnik $1/x$ dąży do $-\infty$ przy $x\to0^-$. Funkcja nie ma wartości najmniejszej. Nie jest ciągła na całym $[-1;1]$, więc założeń twierdzenia nie spełnia.

c) Tangens na $(-\pi/2;\pi/2)$ jest nieograniczony z dołu, więc nie ma minimum. Przedział nie jest domknięty, zatem twierdzenie nie ma zastosowania.

d) Dla $x=2$ funkcja przyjmuje $-2$, a dla $x\ne2$ ma wartości dodatnie, toteż minimum wynosi $-2$. Funkcja jest nieciągła w $2$, a jej dziedzina nie jest przedziałem zwartym; twierdzenia Weierstrassa nie można tu zastosować.

a) Na $[0;2]$ funkcja $(x-1)^2$ ma maksimum $1$, osiągane dla $x=0$ i $x=2$. Jest ciągła na przedziale zwartym, więc można zastosować twierdzenie Weierstrassa.

b) Pierwsza gałąź przyjmuje wartości z $[0;1)$, druga z $[-1;0]$. Supremum $1$ nie jest osiągane, więc maksimum nie istnieje. Funkcja jest nieciągła w $0$; twierdzenie nie ma zastosowania.

c) Na $(0;1)$ funkcja $1/x$ jest nieograniczona z góry. Nie ma maksimum, a przedział nie jest zwarty.

d) Pierwsza gałąź osiąga $2$ dla $x=4$, a druga ma wartości nie większe od $2$. Funkcja jest ciągła na $[0;5]$, więc twierdzenie Weierstrassa ma zastosowanie i maksimum wynosi $2$.

Niech $F(x)=x^3+2x+1$. Funkcja jest ściśle rosnąca, bo dla $x<y$

$$F(y)-F(x)=(y-x)(x^2+xy+y^2+2)>0,$$

zatem ma najwyżej jedno miejsce zerowe. Sprawdzamy dwie kolejne dziesiąte:

$$F(-0{,}5)=-0{,}125<0,\qquad F(-0{,}4)=0{,}136>0.$$

Z ciągłości wynika, że jedyne rozwiązanie należy do $(-0{,}5;-0{,}4)$, czyli $k=-5$.

Każda funkcja ma oczywiste miejsce zerowe $x=0$. Drugie otrzymamy przez zmianę znaku albo bezpośrednie rozwiązanie.

a) $f(1/2)>0$ i $f(1)<0$, więc drugie zero leży w $(1/2;1)$.

b) $f(1)=-5<0$ oraz $f(2)=184>0$, więc drugie zero leży w $(1;2)$.

c) $f(x)=x(3-5\sqrt x)$ dla $x\ge0$, zatem miejscami zerowymi są $0$ i $9/25$.

d) Po wyłączeniu $x$ drugi czynnik jest ciągły na $[1;2]$; ma wartość $-1$ dla $x=1$ i wartość dodatnią dla $x=2$. Stąd poza zerem $x=0$ istnieje jeszcze miejsce zerowe w $(1;2)$.

Wielomian $F_m(x)=7x^3-2x+m$ jest ciągły.

a) Wybierzmy $m=1$. Wtedy $F_1(0)=1>0$, natomiast $F_1(x)\to-\infty$ dla $x\to-\infty$. Zatem ma co najmniej jedno zero ujemne.

b) Wybierzmy $m=-1$. Wtedy $F_{-1}(0)=-1<0$, natomiast $F_{-1}(x)\to\infty$ dla $x\to\infty$. Zatem ma co najmniej jedno zero dodatnie.

Wartość funkcji zależy od $u=|x|$:

$$f(x)=\bigl||u-6|-2\bigr|.$$

Jej załamania występują dla $u=4,6,8$. Odczytując wartości na odpowiednich zakresach $u$, dostajemy:

• a) $u\in[9;14]$: $f=u-8$, więc minimum $1$, maksimum $6$;
• b) $u\in[0;3]$: $f=4-u$, więc minimum $1$, maksimum $4$;
• c) $u\in[0;6]$: funkcja osiąga $0$ dla $u=4$ i $4$ dla $u=0$;
• d) $u\in[1;11]$: osiąga $0$ dla $u=4$ lub $8$ oraz maksimum $3$ na końcach zakresu.

Punkt $x=0$ jest rozwiązaniem dla każdego $a>0$. Gdy $a\ge1$, dla $x>0$ mamy $\sin x<x\le ax$, a z nieparzystości obu stron analogicznie nie ma rozwiązań ujemnych. Wtedy istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, więc najmniejsza wartość funkcji $f$ wynosi $1$ i jest osiągana.

Gdy $a$ maleje do zera, prosta $y=ax$ przecina kolejne dodatnie i ujemne łuki sinusoidy. Liczba przecięć pozostaje dla każdego ustalonego $a$ skończona, ale może być dowolnie duża. Zatem wartości największej nie ma.