MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 231

Odległości punktu $A$ od prostych wynoszą $3$ i $7$. Promień

$r(a)=a^2-2a+4=(a-1)^2+3$

jest co najmniej równy $3$. Dla $r=3$ bliższa prosta jest styczna; dla $3<r<7$ przecina okrąg w dwóch punktach; dla $r=7$ dochodzi jeden punkt styczności z dalszą prostą; dla $r>7$ obie proste dają po dwa punkty.

Równość $r=3$ zachodzi dla $a=1$, a $r=7$ dla $a=-1$ lub $a=3$. W tych trzech argumentach liczba przecięć skokowo się zmienia, więc są to punkty nieciągłości. Punkt $1$ leży w $(-1;3)$.

Dla $x>0$ mamy $f(x)=x^2+1$, a dla $x<0$ — $f(x)=-(x^2+1)$. Stąd dla $x\ne0$

$|f(x)|=x^2+1,\qquad f(|x|)=x^2+1.$

Obie funkcje można więc uzupełnić wartością $1$ w zerze; po uzupełnieniu są równe wielomianowi $x^2+1$ na całej prostej.

Ciągłość w punktach $-1$ i $3$ daje

$a-|b+4|=-3,\qquad a-|12-b|=5.$

Po odjęciu równań otrzymujemy $|b+4|-|12-b|=8$. Rozpatrzenie położeń $b$ względem $-4$ i $12$ daje jedynie $b=8$, a wtedy $a=9$.

Dla zewnętrznej gałęzi równanie $x^2-4=0$ daje w jej dziedzinie tylko $x=-2$. W przedziale $[-1;3]$:

$9-|4x-8|=0\iff |4x-8|=9,$

skąd do przedziału należy tylko $x=-\frac14$.

Środkowy wzór ma postać

$$|x-1|-|x-2|= \begin{cases} -1&x\le1,\\ 2x-3&1\le x\le2,\\ 1&x\ge2. \end{cases}$$

Przy lewym połączeniu równanie $2x_1+3=-1$ daje $x_1=-2$. Przy prawym połączeniu $10-x_2^2=1$ oraz warunek $x_2\ge2$ dają $x_2=3$. Pozostałe gałęzie nie dostarczają pary spełniającej $x_1<x_2$.

Równanie ma postać $x^2+4x-(7+m)=0$, a jego wyróżnik wynosi

$\Delta=16+4(7+m)=4(m+11).$

Zatem dla $m<-11$ nie ma pierwiastków, dla $m=-11$ jest jeden, a dla $m>-11$ są dwa. Wykres $f$ jest funkcją schodkową o wartościach $0,1,2$; w punkcie $m=-11$ obie granice jednostronne różnią się, więc funkcja jest tam nieciągła.

Wyróżnik równania jest równy $(a-2)^2$, więc dwa różne pierwiastki istnieją dla $a\ne2$. Ponadto $x_1x_2=2a$ musi być niezerowe, zatem także $a\ne0$. Z wzorów Viète’a

$$f(a)=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{a+2}{2a}=\frac12+\frac1a.$$

Funkcja jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Jej wykres to hiperbola $y=\frac12+\frac1a$ z usuniętym punktem $(2,1)$.

Dla $0<a\le1$ prosta przecina prawy bok w punkcie $(4,4a)$, a figura $F$ jest trójkątem o podstawie $4$ i wysokości $4a$:

$P(a)=8a.$

Dla $a>1$ prosta przecina górny bok w punkcie $(4/a,4)$. Od pola kwadratu odejmujemy trójkąt o przyprostokątnych $4$ i $4/a$:

$P(a)=16-\frac8a.$

Oba wzory dają dla $a=1$ wartość $8$, zatem funkcja jest ciągła na $(0;\infty)$.