MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 230

a) $D_g=(2;7)$. Dodanie stałej nie usuwa nieciągłości: $g(5)=4$, natomiast $\lim_{x\to5}g(x)=12$.

b) Warunek $x-1\in(2;7)$ daje $D_h=(3;8)$. Punkt nieciągłości przesuwa się do $x=6$: $h(6)=-4$, a $\lim_{x\to6}h(x)=4$.

c) $D_k=(2;7)$. W punkcie $5$ mamy

$k(5)=|-4|=4=\lim_{x\to5}|f(x)|,$

więc wartość bezwzględna usuwa tę nieciągłość i $k$ jest ciągła w całej dziedzinie.

a) Warunek $a^2=\lim_{x\to5}(2x+1)=11$ daje $a=\pm\sqrt{11}$.

b) Granica lewostronna w $-1$ wynosi $2$, prawa $1+2a$, a wartość $a+3$. Równości $a+3=2$ i $1+2a=2$ wymagają sprzecznych wartości parametru, więc rozwiązania nie ma.

c) W zerze trzeba mieć $-a=a^2$, czyli $a\in\{-1,0\}$.

d) Równość $8=10-a=2+3a$ zachodzi dla $a=2$.

a) Ciągłość w punktach $-2$ i $2$ wymaga

$-2a+b=6,\qquad 2a+b=0.$

Stąd $a=-\frac32$ i $b=3$.

b) Prawostronna granica w $-2$ jest równa

W punkcie łączenia trzeba zrównać oba wzory:

Po pomnożeniu przez $5(x_0^2+1)$ otrzymujemy

Dla $x\ne2$ rozkładamy różnicę sześcianów:

Granica w punkcie $2$ wynosi $-12$. Warunek ciągłości to $a^2-20=-12$, więc $a^2=8$.

Funkcja $g(x)=f(|x|)$ korzysta wyłącznie z wartości funkcji $f$ dla argumentów nieujemnych. Gdyby $x_0>0$, nieciągłość $f$ zostałaby przejęta przez $g$ w punktach $x_0$ oraz $-x_0$, co przeczyłoby założeniu. Ponieważ $x_0\ne0$, musi więc zachodzić $x_0<0$.

Pierwotna dziedzina wyklucza oba punkty $-1$ i $1$. Dla $x\ne\pm1$ mamy

Granica w każdym z punktów $\pm1$ wynosi $0$. Przypisanie $f(1)=0$ usuwa lukę tylko w punkcie $1$; punkt $-1$ nadal nie należy do dziedziny. Aby otrzymać funkcję ciągłą na $\mathbb R$, trzeba także przyjąć $f(-1)=0$.