MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 232

a) $f(-\frac23)=0$, a $-\frac23\in(-2;1)$, więc miejsce zerowe jest podane wprost.

b) Funkcja jest ciągła, a $f(5)=-2<0<f(6)=2$.

c) Na $[-2;-1]$ mianownik jest niezerowy. Mamy $f(-2)=-\frac85<0<f(-1)=3$.

d) Funkcja jest ciągła na $[-7;-6]$ oraz $f(-7)=\sqrt{51}-\sqrt{59}<0$ i $f(-6)=8-\sqrt{46}>0$.

e) Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika

$f(x)=\frac{x+2}{x(x-1)(x+1)},$

więc $x=-2$ jest miejscem zerowym należącym do podanego przedziału.

W podpunktach b)–d) istnienie zera wynika z twierdzenia o wartości pośredniej.

W każdym podpunkcie przenosimy wszystko na lewą stronę i korzystamy z ciągłości na wskazanym przedziale.

a) $F(x)=2x^3+4x-5$: $F(0)=-5<0<F(1)=1$.

b) $F(x)=x^3+x+4$: $F(-2)=-6<0<F(-1)=2$.

c) $F(x)=\frac2{x^2}-\sqrt{x}-\frac12$: $F(1)=\frac12>0$, a $F(4)=\frac18-2-\frac12<0$.

d) $F(x)=1+\cos x-3x$:

$F\left(\frac\pi6\right)=1+\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi2>0,$ $F\left(\frac\pi3\right)=\frac32-\pi<0.$

Zmiana znaku na końcach daje rozwiązanie we wnętrzu każdego przedziału.

Dla $x<0$ mamy $f(x)=4-(x+2)^2$, a dla $x\ge0$: $f(x)=(x-2)^2-4$. Na odpowiednio dobranych przedziałach funkcja jest monotoniczna albo ma jedyne ekstremum wskazane poniżej.

a) Na $[-5;-3]$ wartości rosną od $-5$ do $3$.

b) Na $[-4;-3]$ wartości rosną od $0$ do $3$.

c) Na $[1;2]$ wartości maleją od $-3$ do $-4$.

d) Na $[-5;5]$ najmniejsza wartość to $-5$ w punkcie $-5$, a największa to $5$ w punkcie $5$.

Z twierdzenia o wartości pośredniej każde przejście między wartościami o przeciwnych znakach wymusza co najmniej jedno zero. Zmiany znaku występują na pięciu rozłącznych przedziałach:

\quad\left(1;\frac32\right),\quad\left(\frac52;6\right).$$ Można poprowadzić funkcję ciągłą tak, aby w każdym z nich miała dokładnie jedno zero i poza nimi żadnego. Najmniejsza możliwa liczba wynosi więc $5$.

Po przeniesieniu stron tworzymy funkcję ciągłą $F$ i wskazujemy zmianę znaku.

a) $F(x)=8x^8+x^3-x^4-7$: $F(0)=-7<0<F(1)=1$.

b) Dla $F(x)=\frac{x^6-1}{\sqrt2}-\frac{x-\sqrt{3x^3}}{\sqrt3}$ na $[0;1]$ mamy $F(0)=-\frac1{\sqrt2}<0$ oraz $F(1)=1-\frac1{\sqrt3}>0$.

c) $F(x)=x^4-6x+\sqrt{x}+2$ jest ciągła na $[0;1]$ oraz $F(0)=2>0>F(1)=-2$.

d) Dla $F(x)=x+\sqrt{4x+9}-3-\sqrt{x+1}$ na $[0;1]$ mamy $F(0)=-1<0$ i $F(1)=\sqrt{13}-2-\sqrt2>0$.

Twierdzenie o wartości pośredniej daje w każdym przypadku co najmniej jeden pierwiastek.