MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 229

Sprawdzamy tylko punkty zmiany wzoru.

a) Dla $x\ne\pm2$ wyrażenie jest równe $-\frac1{x+2}$. W punkcie $2$ granica wynosi $-\frac14=f(2)$, natomiast przy $-2$ występuje asymptota pionowa. Jedyny punkt nieciągłości to $-2$.

b) W punkcie $-2$ oba wzory dają $-5$. W punkcie $7$ lewa wartość wynosi $40$, a prawa granica $\frac{50}{7}$, więc nieciągłość występuje dla $x=7$.

c) Skan s. 229 potwierdza, że w trzeciej gałęzi licznik ma postać $\sqrt{2x}-1$; Markdown błędnie objął liczbę $-1$ znakiem pierwiastka. Dla $x=-1$ obie strony dają $-2$. Dla $x=2$ środkowy wzór oraz prawa granica dają $\frac12$. Funkcja jest ciągła.

d) W punkcie $0$ obie strony i wartość funkcji są równe $1$. Dla $x=-1$ granice wynoszą odpowiednio $1$ i $\sqrt2$, a dla $x=1$ odpowiednio $1$ i $3$. Punkty nieciągłości to $-1$ i $1$.

Podstawmy $t=\sqrt[3]{x}$. Wtedy $x=t^3$ oraz $\sqrt[3]{x^2}=t^2$, więc

$$\frac{1-t^2}{1-t^3}=\frac{(1-t)(1+t)}{(1-t)(1+t+t^2)}.$$

Gdy $x\to1$, również $t\to1$, a granica jest równa $\frac23$. Taką wartość należy przypisać funkcji w punkcie $1$.

Wystarczą standardowe przekształcenia przedziału $(-1;1)$:

a) Funkcja liniowa $f(x)=3x-1$ ma zbiór wartości $(-4;2)$.

b) Funkcja $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$ jest dodatnia i rośnie od $0$ do $+\infty$, więc jej zbiorem wartości jest $(0;\infty)$.

c) Funkcja $f(x)=\tan\frac{\pi x}{2}$ przyjmuje na $(-1;1)$ wszystkie wartości rzeczywiste.

a) Niech $f(0)=1$ i $f(x)=0$ dla $x\ne0$. Granica istnieje w każdym punkcie, ale $\lim_{x\to0}f(x)=0\ne f(0)$.

b) Funkcja stała $f(x)=0$ jest ciągła w zerze, a obie granice jednostronne są równe $0$, nie mają więc podanych znaków.

c) Niech $f(3)=1$ i $f(x)=0$ dla $x\ne3$. Funkcja jest nieciągła w punkcie $3$, mimo że obie granice jednostronne istnieją i są równe $0$.