MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 228

Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

a) $\lim_{x\to2}(3x-5)=1=f(2)$.

b) Punkt $3$ leży we wnętrzu dziedziny, a $\lim_{x\to3}\sqrt{x^2-5}=2=f(3)$.

c) Mianownik w punkcie $0$ jest niezerowy, zatem

$$\lim_{x\to0}\frac{x^2+1}{x-1}=-1=f(0).$$

W każdym podpunkcie granica istnieje i jest równa wartości funkcji.

Z odczytu wykresu:

a) Dla $x_0=-2$ obie granice jednostronne są równe, ale zaznaczona wartość funkcji jest inna od granicy.

b) Dla $x_0=1$ granice jednostronne są różne.

c) Dla $x_0=2$ obie strony wykresu zbliżają się do tej samej wartości, lecz punkt jest pusty, więc $2$ nie należy do dziedziny.

d) Dla $x_0=3$ wykres nie ma przerwy: granica jest równa $f(3)$.

a) Dla $x\ne-3$ skracamy czynnik $x+3$:

$$\frac{x^2+2x-3}{x^2+4x+3} =\frac{(x+3)(x-1)}{(x+3)(x+1)}.$$

Stąd $\lim_{x\to-3}f(x)=2$, natomiast $f(-3)=-2$. Funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

b) Po usunięciu niewymierności dla $x<-3$ mamy

$$\frac{\sqrt{1-x}-2}{2(x+3)} =-\frac1{2(\sqrt{1-x}+2)},$$

więc granica lewostronna wynosi $-\frac18$. Z prawej strony oraz w punkcie $-3$ drugi wzór daje również $\frac{-1}{8}=-\frac18$. Funkcja jest ciągła.

Wystarczy porównać wartości graniczne w punktach łączenia wzorów.

a) Dla $x=-1$ lewy wzór daje $3$, a prawostronna granica wynosi $4$, więc funkcja jest nieciągła.

b) Dla $x=2$ obie granice i wartość funkcji są równe $4$, więc funkcja jest ciągła.

c) Dla $x=1$ oba wzory dają $1$, zatem funkcja jest ciągła.

d) Dla $x\to0^-$ i $x\to0^+$ granica wynosi $4$, ale $f(0)=0$. Funkcja jest nieciągła w zerze.

Dla $f$ w punkcie łączenia $x=4$ warunek ciągłości ma postać

$4+3=-4+p,$

stąd $p=11$. Dla $g$ w punkcie $x=5$ otrzymujemy

$-5+6=5+q,$

zatem $q=-4$.