MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 227

Mianownik rozkłada się na czynniki: $2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3).$ Aby po skróceniu jednego czynnika pozostała funkcja z asymptotą poziomą, współczynnik składnika sześciennego musi być równy zero, czyli $a=0$. Wtedy licznik ma postać $bx+1$.

Jeśli ma się skrócić czynnik $2x+1$, licznik musi zerować się dla $x=-\frac12$: $-\frac b2+1=0,$ więc $b=2$. Pozostaje wówczas pionowa asymptota $x=3$.

Jeśli skraca się czynnik $x-3$, to $3b+1=0,$ więc $b=-\frac13$. Pozostaje asymptota $x=-\frac12$. W obu przypadkach stopień licznika po skróceniu jest mniejszy od stopnia mianownika, więc asymptotą poziomą jest $y=0$.

a) Zapisujemy $\sqrt{x^2+3}=|x|\sqrt{1+3/x^2}$. Dla $x\to+\infty$ iloraz dąży do $1$, a dla $x\to-\infty$ mamy $|x|=-x$, więc granica wynosi $-1$.

b) Dla $x\to+\infty$ oba składniki są dodatnie i zachowują się jak $3x$, więc suma dąży do $+\infty$. Dla $x\to-\infty$ racjonalizujemy:

=\frac1{\sqrt{9x^2+1}-3x}\to0.$$ **c)** Dla $A=\sqrt[3]{x+1}$ i $B=\sqrt[3]x$ korzystamy z $$A-B=\frac1{A^2+AB+B^2}.$$ Gdy $x\to+\infty$ lub $x\to-\infty$, moduł mianownika rośnie bez ograniczeń, więc obie granice wynoszą $0$.

W każdym podpunkcie wykonujemy dzielenie wielomianów; reszta podzielona przez mianownik dąży do zera w obu nieskończonościach.

a) $\frac{x^2-3}{x+1}=x-1-\frac2{x+1},$ więc asymptotą jest $y=x-1$.

b) $x+\frac1x=x+o(1),$ więc asymptotą jest $y=x$.

c)

=\frac12x-\frac32+\frac{-\frac12x+\frac32}{2x^2+1},$$ więc asymptotą jest $y=\frac12x-\frac32$.