MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 226

Trzeba wykazać, że różnica funkcji dąży do zera w obu nieskończonościach.

a) Mnożenie pokazuje, że $(4-x)(-x-6)=x^2+2x-24.$ Stąd

Racjonalizujemy mianownik:

Dla dodatnich $k,m$ dominują składniki liniowe: $kx-\sqrt{mx^2+1}\sim(k-\sqrt m)x.$ Aby granica mogła być równa zero, konieczne jest $k=\sqrt m$, czyli $m=k^2$. Warunek jest także wystarczający, bo wtedy

Dla $x\to+\infty$ mamy $|x|=x$, więc $\lim_{x\to\infty}\frac{m|x|}{x+1}=m.$ Dla $x\to-\infty$ zachodzi $|x|=-x$, zatem granica wynosi $-m$. Odległość poziomych prostych $y=m$ i $y=-m$ jest równa $|m-(-m)|=2|m|.$ Warunek $2|m|=10$ daje $|m|=5$.

Ponieważ $g(x)\to m$ oraz $f(x)\to-1$, otrzymujemy, poza przypadkiem $m=\frac32$ prowadzącym do niewłaściwej pierwszej granicy, $\lim_{x\to\infty}f(g(x))=\frac{1-2m}{2m-3},$ $\lim_{x\to\infty}g(f(x))=\frac{-m-1}{3}.$ Porównujemy te wartości: $\frac{1-2m}{2m-3}=-\frac{m+1}{3},$ $3-6m=-2m^2+m+3,$ $m(2m-7)=0.$ Stąd $m=0$ albo $m=\frac72$. Po podstawieniu wspólne granice wynoszą odpowiednio $-\frac13$ i $-\frac32$.

Dziedzina wyklucza $x=-1,0,1$. Dla $x>0$ upraszczamy $f(x)=\frac{3x^3}{x|x^2-1|}=\frac{3x^2}{|x^2-1|},$ a dla $x<0$: $f(x)=\frac{-x^3}{-x|x^2-1|}=\frac{x^2}{|x^2-1|}.$ Punkt $0$ jest usuwalną luką, natomiast przy $x=\pm1$ funkcja rośnie do $+\infty$, więc asymptoty pionowe to $x=-1$ i $x=1$.

Granica przy $x\to-\infty$ wynosi $1$, a przy $x\to+\infty$ wynosi $3$. Cztery asymptoty ograniczają prostokąt o bokach $1-(-1)=2,\qquad 3-1=2,$ więc jego pole jest równe $4$.

Korzystamy z tożsamości $A-B=(A^3-B^3)/(A^2+AB+B^2)$.

Dla pierwszej funkcji różnica sześcianów wynosi $2$, a mianownik jest rzędu $3x^2$, więc $\lim_{x\to\infty}f(x)=0.$

Dla drugiej funkcji różnica sześcianów wynosi $2x^2$. Po podzieleniu mianownika przez $x^2$ otrzymujemy

Dla $a\ne\pm2$ granica ilorazu wielomianów stopnia drugiego wynosi $\frac{6-3a}{a^2-4}=\frac{-3(a-2)}{(a-2)(a+2)}=-\frac3{a+2}.$ Warunek $-\frac3{a+2}=2-3a$ prowadzi do równania $3a^2+4a-7=0,$ czyli $a=1$ lub $a=-\frac73$.

Dla $a=2$ stopnie spadają i granica wynosi $\lim_{x\to\infty}\frac{4x+7}{-x+12}=-4=2-3\cdot2,$ więc ta wartość także spełnia warunek. Dla $a=-2$ granica jest niewłaściwa i warunek nie zachodzi.

a) Warunki $x-2\ge0$ i $x+1>0$ dają $D_f=\langle2;\infty)$. Mamy $f(x)=\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}\to1$ dla $x\to\infty$. Przy $x=2$ granica jest skończona, więc asymptoty pionowej nie ma.

b) Warunki $4x\ge0$ i $x-5>0$ dają $D_f=(5;\infty)$. Dla $x\to\infty$ granica wynosi $2$, a dla $x\to5^+$ funkcja dąży do $+\infty$.

c) Warunki $x+2\ge0$ i $2-x>0$ dają $D_f=\langle-2;2)$. Dla $x\to2^-$ funkcja dąży do $+\infty$. Dziedzina nie sięga żadnej nieskończoności, więc asymptot poziomych nie ma.