MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 225

a) Łączymy ułamki o wspólnym mianowniku: $\frac{x^2+x-2x}{x-2}=\frac{x^2-x}{x-2}\sim x,$ więc dla $x\to-\infty$ granica wynosi $-\infty$.

b) Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:

Dla dostatecznie dużego $|x|$ usuwamy moduły zgodnie ze znakiem ich argumentów.

a) Przy $x<0$, $|x|=-x$, więc $\frac{1-x}{1+x}\to-1$.

b) Przy $x>1$, $|x|=x$ i $|1-x|=x-1$, więc $\frac{1+x}{x-1}\to1$.

c) Dla $x\to-\infty$ mamy $|x^2-1|=x^2-1=(x-1)(x+1)$, więc iloraz jest równy $x+1\to-\infty$.

d) Dla dużych dodatnich $x$, $|x+1|=x+1$, zatem iloraz upraszcza się do $1/(x-1)\to0$.

e) Dla $x<-1$, $|x-1|+|x+1|=(1-x)+(-x-1)=-2x$, a mianownik ma stopień $2$, więc granica to $0$.

f) Dla $x>1$, $|x^2-x|=x^2-x$, więc iloraz wiodących składników wynosi $-1$.

Dzielimy wielomiany: $f(x)=\frac{x^2-2}{x+1}=x-1-\frac1{x+1}.$ Zatem $f(x)-g(x)=-1-c-\frac1{x+1},$ więc $\lim_{x\to\infty}(f(x)-g(x))=-1-c.$ Porównanie tej liczby kolejno z $-2$, $0$ i $5$ daje wartości parametru.

W wyrażeniach z różnicą pierwiastków mnożymy przez wyrażenie sprzężone.

a) $\sqrt{x^2+2}-x=\frac2{\sqrt{x^2+2}+x}\to0$.

b) $x-\sqrt{x^2+4}=\frac{-4}{x+\sqrt{x^2+4}}\to0$.

c) $\sqrt{x+7}-\sqrt x=\frac7{\sqrt{x+7}+\sqrt x}\to0$.

d)

Funkcja $f$ ma granicę $-3$ w $+\infty$ i $2$ w $-\infty$.

a) Odjęcie $4$ przesuwa obie granice o $4$ w dół: otrzymujemy $-7$ po prawej i $-2$ po lewej.

b) Wartość bezwzględna daje odpowiednio $|-3|=3$ i $|2|=2$.

c) Gdy $x\to\pm\infty$, argument $|x|\to+\infty$, więc po obu stronach granica wynosi $-3$.

Dla ustalonego $k\in\mathbb R$ weźmy $f(x)=x$ oraz

Pierwiastki kwadratów zastępujemy wartościami bezwzględnymi: $f(x)=\frac{|x+2|+|x+1|+|x|}{|x-2|+|x-1|+|x|}.$ Dla $x>2$ jest to $\frac{3x+3}{3x-3}\to1.$ Dla $x<-2$ otrzymujemy $\frac{-3x-3}{-3x+3}\to1.$ Granice w obu nieskończonościach są równe $1$, więc prosta $y=1$ jest asymptotą obustronną poziomą.