MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 224

O znaku granicy wielomianu decyduje jego składnik najwyższego stopnia.

a) $4x^3-4x^2+1\sim4x^3$, więc granica wynosi $+\infty$.

b) $3+2x-x^2\sim-x^2$, więc $-\infty$.

c) $5x-x^2\sim-x^2$, a potęga jest nieparzysta, więc $-\infty$.

d) $(2x+1)^4$ jest czwartą potęgą wyrażenia o rosnącym module, więc $+\infty$.

e) $x^4+3x^2+2x\sim x^4$, więc $+\infty$.

f) $x^3-2x^2-12\sim x^3$, a $x\to-\infty$, więc $-\infty$.

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potrzebną potęgę $x$. Przy równych stopniach otrzymujemy iloraz współczynników wiodących, przy niższym stopniu licznika zero, a przy wyższym analizujemy znak składnika wiodącego.

a) $\frac{2x+1}{3x-1}\to\frac23$.

b) $\frac{4x}{x+5}\to4$.

c) $\frac{x^2+x-1}{2-x^2}\to-1$.

d) $\frac{x^3+7x+3}{1-5x^3}\to-\frac15$.

e) $\frac{6x^4+2}{2x^4+x^2+1}\to3$.

f) $\frac{3x-1}{x^2+2}\to0$.

g) Iloraz zachowuje się jak $\frac{x^3}{2x^2}=\frac x2\to+\infty$.

h) Iloraz zachowuje się jak $\frac{4x^2}{3x}=\frac43x\to-\infty$.

i) Iloraz zachowuje się jak $10x^2\to+\infty$.

W każdym podpunkcie granice dla $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ są takie same, bo o wyniku decydują parzyste najwyższe potęgi. Porównanie stopni i współczynników wiodących daje:

Asymptotę poziomą wyznaczamy z ilorazu współczynników wiodących, a pionową z nieusuniętych zer mianownika.

a) Granica w obu nieskończonościach to $3$; mianownik zeruje się w $-1$, a licznik nie.

b) Granica to $-4$; mianownik zeruje się w $2$.

c) Granica to $0$; zera mianownika $-1$ i $1$ nie skracają się.

d) $\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac1{x+3}$ dla $x\ne\pm3$. Punkt $3$ jest luką, a $-3$ asymptotą; granica w nieskończonościach to $0$.

e) Granica to $1$; mianownik $(x+1)^2$ daje asymptotę $x=-1$.

f) Granica to $0$; mianownik $(x+3)(x-1)$ daje asymptoty $x=-3$ i $x=1$.

Dla $x\to+\infty$ mamy $|x|=x$, więc $a=\lim_{x\to\infty}\frac{x\sqrt{3+2/x^2}}{x(1-1/x)}=\sqrt3.$ Dla $x\to-\infty$ zachodzi $|x|=-x$, zatem $b=\lim_{x\to-\infty}\frac{-x\sqrt{3+2/x^2}}{x(1-1/x)}=-\sqrt3.$ Wobec tego $a\cdot b=-3$.

Po wymnożeniu nawiasów odczytujemy stopnie i składniki wiodące.

a) Licznik i mianownik mają stopień $2$, a iloraz współczynników wiodących wynosi $\frac14$ po obu stronach.

b) Stopnie to $3$ i $2$, a iloraz zachowuje się jak $x$: granice wynoszą $+\infty$ i $-\infty$.

c) Stopnie to $4$ i $3$, a iloraz także zachowuje się jak $x$: granice wynoszą $+\infty$ i $-\infty$.

d) Stopnie to $2$ i $3$, więc obie granice są równe $0$.

W pierwszej granicy wynik jest niezerową liczbą skończoną, więc stopnie muszą być równe: $a=3$. Wtedy iloraz współczynników wiodących wynosi $4/(-3)=-4/3$.

Z pozostałych liczb $2$ i $4$ wykładnik $b$ musi być mniejszy od stopnia mianownika $3$, aby granica była równa zero. Zatem $b=2$.

Pozostaje $c=4$. Wtedy dla $x\to-\infty$ $\frac{1-x^4}{2x^3+5}\sim-\frac{x}{2}\to+\infty,$ więc trzecia równość także zachodzi.