MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 223

Mianownik $|x^2-4|$ zeruje się dokładnie dla $x=-2$ i $x=2$, a licznik pozostaje dodatni. W obu punktach funkcja dąży do $+\infty$ z każdej strony, więc są to asymptoty pionowe.

Wykres $g(x)=f(x-m)$ ma asymptoty tam, gdzie $(x-m)^2-4=0,$ czyli przy $x=m-2$ i $x=m+2$. Prosta $x=1$ jest jedną z nich, gdy $m-2=1$ albo $m+2=1$.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

Jedynym zerem mianownika jest $x=1$. Prosta $x=1$ jest asymptotą pionową wtedy i tylko wtedy, gdy licznik nie zeruje się w tym punkcie. Warunek ma więc postać $2\cdot1^2+a\cdot1+b\ne0,$ czyli $a+b\ne-2$. Jeśli $a+b=-2$, czynnik $x-1$ skraca się i w punkcie $1$ pozostaje jedynie luka.

Sprawdzamy znak funkcji trygonometrycznej po wskazanej stronie jej zera.

a) Dla $x\to\pi^+$ mamy $\sin x\to0^-$, więc granica wynosi $-\infty$.

b) Dla $x\to(-\frac32\pi)^-$ mamy $\cos x\to0^+$, więc $+\infty$.

c) Dla $x\to0^-$ mamy $\operatorname{tg}x\to0^-$, więc $-\infty$.

d) Po lewej stronie nieparzystej wielokrotności $\pi$, równej $99\pi$, sinus dąży do $0^+$, więc wynik to $+\infty$.

e) Dla $x\to(-55{,}5\pi)^+$ cosinus dąży do $0^-$, więc wynik to $-\infty$.

f) Po prawej stronie $20\pi$ tangens dąży do $0^+$, więc wynik to $+\infty$.

Niech $\alpha$ będzie kątem przy wierzchołku $C$. Po opuszczeniu wysokości na podstawę otrzymujemy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $1$ i przyprostokątnej $x/2$, więc $\sin\frac\alpha2=\frac x2.$ Środki obu okręgów leżą na dwusiecznej kąta $C$. Jeżeli okrąg ma promień $\rho$, odległość jego środka od $C$ wynosi $\rho/\sin(\alpha/2)$. Okręgi są styczne zewnętrznie, zatem $\frac{R}{\sin(\alpha/2)}-\frac{r}{\sin(\alpha/2)}=R+r.$ Po przekształceniu