MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 222

Mamy $h(x)=\frac1{(x-1)(x-4)},$ więc jego asymptotami pionowymi są proste $x=1$ i $x=4$. Pozostałe dwie proste, $y=x-1$ i $y=x-4$, są równoległe. Razem cztery proste wyznaczają równoległobok.

Na prostej $x=4$ ukośne proste wyznaczają punkty $(4,3)$ i $(4,0)$, więc pionowa podstawa ma długość $3$. Odległość prostych pionowych $x=1$ i $x=4$ także wynosi $3$. Zatem $P=3\cdot3=9.$

Upraszczamy ułamek od środka: $3-\frac1x=\frac{3x-1}{x},$ $2-\frac1{3-\frac1x}=2-\frac{x}{3x-1}=\frac{5x-2}{3x-1},$

=1-\frac{3x-1}{5x-2}=\frac{2x-1}{5x-2}.$$ Stąd $$f(x)=\frac{5x-2}{2x-1}.$$ Gdy $x\to\frac12$, licznik dąży do $\frac12>0$, a mianownik do zera od strony ujemnej lub dodatniej.

Pierwiastek w mianowniku jest zawsze dodatni w dziedzinie i dąży do $0^+$ przy każdym zerze wyrażenia pod modułem.

a) Dziedzina wyklucza $x=\pm1$. W pobliżu $-1$ licznik jest ujemny, więc funkcja dąży do $-\infty$ z obu stron; w pobliżu $1$ licznik jest dodatni, więc dąży do $+\infty$ z obu stron.

b) Dziedzina wyklucza $x\in\{-2,-1,1,2\}$. W punktach ujemnych licznik jest ujemny, a w dodatnich dodatni. Każdy z czterech punktów daje więc obustronną granicę niewłaściwą.

a) Dla $x\to0^+$ składnik $1/x$ dąży do $+\infty$. Mamy

f_3(x)=x+\frac1x,\quad f_4(x)=\frac1x,$$ więc wszystkie cztery granice są równe $+\infty$. **b)** Różnice upraszczają się bez odejmowania symboli nieskończoności: $$f_1-f_4=1,\qquad f_2-f_4=\frac1x,\qquad f_3-f_4=x.$$ Ich granice prawostronne wynoszą odpowiednio $1$, $+\infty$ i $0$.

a) Przesunięcie argumentu $x\mapsto x-1$ przesuwa obie asymptoty o $1$ w prawo: $-2+1=-1$ i $1+1=2$.

b) Warunki $-x=-2$ oraz $-x=1$ dają odpowiednio $x=2$ i $x=-1$. Dodanie $2$ do wartości funkcji nie zmienia asymptot pionowych.

c) Równanie $|x|=-2$ nie ma rozwiązań, natomiast $|x|=1$ daje $x=\pm1$.

Po wskazanej stronie punktu usuwamy wartości bezwzględne.

a) Dla $x<0$, $|x|=-x$, więc $|x|/x=-1$.

b) Dla $x<1$, $|x-1|=1-x=-(x-1)$, więc iloraz jest równy $-1$.

c) Dla $x<4$, $|x-4|=4-x$, więc iloraz jest równy $1$.

d) Dla $x<1$ mamy $|x-1|=1-x$ oraz $1-x^2=(1-x)(1+x)$, więc iloraz upraszcza się do $1+x\to2$.

a) Dziedzina to $(-1;1)$. Przy $x\to-1^+$ funkcja dąży do $-\infty$, a przy $x\to1^-$ do $+\infty$, więc obie proste są asymptotami jednostronnymi.

b) Warunek $\frac{1-x}{x}\ge0$ daje dziedzinę $(0;1\rangle$. Dla $x\to0^+$ wartość pierwiastka dąży do $+\infty$; przy $x=1$ jest skończona.

c) Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{0\}$. Ponieważ $\sqrt{x^2+1}\to1$ przy $x\to0$, iloraz dąży do $-\infty$ z lewej i $+\infty$ z prawej.

d) Dziedzina ma postać $(-\infty;-1\rangle\cup\langle1;\infty)$. W punktach krańcowych funkcja dąży do $0$, zatem nie ma asymptot pionowych.

a) Dla $-2<x<2$ upraszczamy

=-\sqrt{\frac{2-x}{x+2}}.$$ Przy $x\to-2^+$ funkcja dąży do $-\infty$, a przy $x\to2^-$ do $0$. **b)** Mianownik zeruje się przy $x=\pm1$, a licznik ma tam wartość $-3$, więc obie proste są asymptotami. **c)** Jedyny kandydat to $x=-1$. Licznik dąży tam do $-2$, zatem granice jednostronne są niewłaściwe. **d)** Dla $x\ne1$ mamy $$\frac{x^3-1}{|1-x|} =\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{|x-1|}.$$ Granice jednostronne w $1$ są skończone, równe $-3$ i $3$, więc asymptoty nie ma.