MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 221

Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{2\}$. W otoczeniu punktu $2$ licznik ma postać $|x|-2=x-2$. Zatem

Funkcje $f$ i $g$ mają odpowiednio asymptoty $x=-2$ i $x=-1$.

Dla sumy $h(x)=\frac{(x+1)^2+(x+2)^2}{(x+1)(x+2)}$ licznik nie zeruje się ani w $-2$, ani w $-1$, więc obie proste są asymptotami.

Iloczyn upraszcza się do $k(x)=1$ dla $x\ne-2,-1$. Oba wyłączone punkty są tylko lukami, więc asymptot brak.

Dla różnicy

Dla $x\to2^-$ licznik $x+4$ jest dodatni, a $3x-6\to0^-$, więc lewa granica zawsze wynosi $-\infty$.

Dla $x\to2^+$ mamy $2-x\to0^-$. Iloraz $\frac{a}{2-x}$ dąży do $-\infty$ dokładnie dla $a>0$, a do $+\infty$ dla $a<0$; dla $a=0$ jest równy zero. Zatem w a) potrzebujemy $a>0$, natomiast warunku z b) nie da się spełnić, bo lewa granica nigdy nie jest dodatnia nieskończona.

a) Mianownik zeruje się w $1$ i $2$, a licznik jest stały i niezerowy, więc obie proste są asymptotami.

b) Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Określmy wartość w zerze osobno:

Argument funkcji $f$ w złożeniu $g(x)=f(|x|)$ jest zawsze nieujemny. Aby zbliżał się do jednej z pionowych asymptot funkcji $f$, musiałoby zachodzić $|x|\to-3$ albo $|x|\to-1$, co jest niemożliwe. Zatem żadna z dwóch asymptot $f$ nie daje asymptoty funkcji $g$.