MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 220

W każdym podpunkcie licznik dąży do liczby niezerowej, więc o znaku granicy decyduje znak mianownika po wskazanej stronie punktu.

a) $x-5\to0^+$ i $3>0$, zatem granica wynosi $+\infty$.

b) $2-x^2\to-14$, a $x-4\to0^+$, zatem $-\infty$.

c) $x^2+2x-1\to2$, a $1-x\to0^+$, zatem $+\infty$.

d) $x^3+x-5\to5$, a $2-x\to0^-$, zatem $-\infty$.

e) $3x-4\to-7$. Dla $x\to-1^+$ mamy $(x-1)(x+1)\to0^-$, więc iloraz dąży do $+\infty$.

f) $x-3\to-1$. Dla $x\to2^-$ mianownik $(x-2)(x+4)\to0^-$, więc granica wynosi $+\infty$.

Odczytujemy zachowanie gałęzi przy przerywanych prostych pionowych.

a) Przy $x=1$ i $x=3$ wykres z obu stron rośnie bez ograniczeń.

b) Wykres ma gałąź dążącą do $+\infty$ tylko przy $x\to1^+$.

c) Przy $x=2$ lewa gałąź maleje do $-\infty$, a prawa rośnie do $+\infty$.

a) $D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$. Wykres hiperboli spełnia

\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty.$$ Granice jednostronne nie są równe, więc nie ma granicy niewłaściwej w $0$. **b)** $D_f=\mathbb R\setminus\{0\}$. Obie gałęzie leżą nad osią $OX$ i $$\lim_{x\to0^-}\frac1{x^2}=\lim_{x\to0^+}\frac1{x^2}=+\infty.$$ Zatem granica niewłaściwa istnieje. **c)** $D_f=\mathbb R\setminus\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\}$. Funkcja tangens jest ciągła w $0$ i $\lim_{x\to0}\operatorname{tg}x=0$, więc nie ma tam granicy niewłaściwej.

a) Licznik dąży do $-2$, natomiast $x-3$ ma różne znaki po obu stronach:

\lim_{x\to3^+}\frac{1-x}{x-3}=-\infty.$$ Granica obustronna nie istnieje. **b)** Ponieważ $(x-3)^2\to0^+$, $$\lim_{x\to3^-}\frac{-3}{(x-3)^2} =\lim_{x\to3^+}\frac{-3}{(x-3)^2}=-\infty.$$ **c)** Z rozkładu $x^2-9=(x-3)(x+3)$ wynika $$\lim_{x\to3^-}\frac1{x^2-9}=-\infty,\qquad \lim_{x\to3^+}\frac1{x^2-9}=+\infty.$$ Granica obustronna nie istnieje.

Asymptota pionowa może wystąpić w zerze mianownika, o ile czynnik ten nie skraca się z licznikiem.

a) $x^2-4=(x-2)(x+2)$; licznik nie zeruje się dla $x=\pm2$.

b) $\frac{x}{x(x-1)}=\frac1{x-1}$ dla $x\ne0,1$; punkt $0$ jest usuwalną luką.

c) $x^2+2x=x(x+2)$, a licznik jest dodatni dla każdego $x$.

d) $x^2-4=(x-2)(x+2)$ i brak skracania.

e) $\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$; punkt $-2$ jest luką.

f) $\frac{x-2}{(x-2)(x+4)}=\frac1{x+4}$; punkt $2$ jest luką.

Ponieważ dla $x\to3^+$ mamy $(3-x)\to0^-$ i $3+x>0$, $\lim_{x\to3^+}\frac1{9-x^2}=-\infty.$ Porównujemy znaki mianowników:

a) $(3-x)^2\to0^+$, więc granica to $+\infty$.

b) $x(x-3)\to0^+$, więc granica to $+\infty$.

c) $(3-x)(x-4)\to0^+$, więc granica to $+\infty$.

d) $(3-x)(6-x)\to0^-$, więc granica to $-\infty$.