MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 219

Dla $x\ne-1,1$ mamy

=x\frac{x^2-1}{|x^2-1|} =\begin{cases}x&\text{dla }|x|>1,\\-x&\text{dla }|x|<1. \end{cases}$$ **a)** Po dodaniu $x$ otrzymujemy $$f(x)=\begin{cases}2x&\text{dla }|x|>1,\\0&\text{dla }|x|<1. \end{cases}$$ W punkcie $-1$ granice wynoszą odpowiednio $-2$ i $0$, a w punkcie $1$ odpowiednio $0$ i $2$. Poza tymi punktami funkcja jest ciągła. **b)** Na przedziałach zewnętrznych iloraz jest równy $x$, a na przedziale $\langle-1;1\rangle$ funkcję także określono wzorem $x$. Zatem po obu stronach każdego punktu granice są równe.

a) Dla $x<3$ zachodzi $|x-3|=3-x=-(x-3)$, więc $\frac{|x-3|}{2x-6}=-\frac12.$ Stąd

=-\frac12+3=\frac52.$$ **b)** Gdy $x>-2$, mamy $|x+2|=x+2$. Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika: $$\frac{2x}{(x-2)(x+2)}-\frac1{x+2} =\frac{2x-(x-2)}{(x-2)(x+2)} =\frac1{x-2}.$$ Zatem granica jest równa $\frac1{-4}=-\frac14$.

Granice odpowiednich gałęzi wynoszą

\lim_{x\to1^+}f(x)=c+d,$$ $$\lim_{x\to3^-}f(x)=3c+d,\quad \lim_{x\to3^+}f(x)=3e+f.$$ **a)** Wystarczy więc spełnić układ $$a+b=3e+f,\qquad c+d=-(3c+d).$$ Przykładowo dla $(a,b,c,d,e,f)=(1,3,-1,2,1,1)$ obie równości zachodzą. **b)** Warunki istnienia podanych granic mają postać $$a+b=c+d=2,\qquad 3c+d=3e+f=4.$$ Spełnia je na przykład $(a,b,c,d,e,f)=(-1,3,1,1,-1,7)$.

Dla $a\ne1$ jest to równanie kwadratowe o wyróżniku

=-7a^2+20a-12=-(7a-6)(a-2).$$ Stąd ma ono dwa rozwiązania dla $\frac67<a<2$, jedno dla $a\in\{\frac67,2\}$ i żadnego poza przedziałem $\langle\frac67;2\rangle$. Dla $a=1$ równanie jest liniowe, $-x-1=0$, więc ma jedno rozwiązanie. Zatem $$f(a)=\begin{cases} 0&\text{dla }a<\frac67,\\ 1&\text{dla }a=\frac67,\\ 2&\text{dla }\frac67<a<2,\ a\ne1,\\ 1&\text{dla }a=1\text{ lub }a=2,\\ 0&\text{dla }a>2. \end{cases}$$ Jednopunktowa zmiana wartości przy $a=1$ nie wpływa na granicę.

Weźmy funkcję

\end{cases}$$ Jej granica lewostronna w $2$ jest równa $-1$, a prawostronna $1$, więc granica $f$ nie istnieje. Jednocześnie $(f(x))^2=1$ dla każdego $x$, zatem granica kwadratu istnieje.

Gdy $x\to2^-$, argumenty dążą odpowiednio do $3^-$ i $1^-$. Ze skanu odczytujemy $\lim_{u\to3^-}f(u)=3,\qquad \lim_{v\to1^-}g(v)=2,$ więc pierwsza granica wynosi $3-2=1$.

Gdy $x\to2^+$, argumenty dążą do $3^+$ i $1^+$. Z wykresu $\lim_{u\to3^+}f(u)=2,\qquad \lim_{v\to1^+}g(v)=1,$ zatem druga granica także wynosi $2-1=1$. Równość granic jednostronnych oznacza, że $h$ ma granicę w $2$.