Przejdź do treści
KorepetytorAI
Zaloguj się
Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 218

temat „\*4.3. Granice jednostronne” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 14

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Gdy x<0x<0, mamy ∣x∣=−x|x|=-x, więc w lewej gałęzi −∣x∣−x−1=−1,-|x|-x-1=-1, a gdy x>0x>0, to ∣x∣=x|x|=x i w prawej gałęzi ∣x∣−x+1=1.|x|-x+1=1. Zatem

\qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac31=3.$$ Granice jednostronne są równe, więc istnieje granica obustronna. **b)** Korzystając z tych samych uproszczeń, otrzymujemy $$\lim_{x\to0^-}f(x)=\frac3{-1}=-3, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac31-6=-3.$$ Także w tym przypadku istnieje granica obustronna.
Odpowiedź

a) lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0f(x)=3\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0}f(x)=3; funkcja ma granicę w 00.

b) lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0f(x)=−3\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0}f(x)=-3; funkcja ma granicę w 00.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 15

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

a) Dla x<0x<0 i x>0x>0 odpowiednio:

\end{cases} \qquad g(x)=\begin{cases}-\dfrac1{x-1}&\text{dla }x<0,\\[4pt]\dfrac1{x-1}&\text{dla }x>0. \end{cases}$$ Stąd $$\lim_{x\to0^-}f(x)=-1,\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=1,$$ $$\lim_{x\to0^-}g(x)=1,\quad \lim_{x\to0^+}g(x)=-1.$$ **b)** Funkcja $h$ korzysta po lewej stronie z $f$, a po prawej z $g$, zatem $$\lim_{x\to0^-}h(x)=-1=\lim_{x\to0^+}h(x).$$ Analogicznie dla $k$: $$\lim_{x\to0^-}k(x)=1=\lim_{x\to0^+}k(x).$$ Równość odpowiednich granic jednostronnych dowodzi istnienia obu granic obustronnych.
Odpowiedź

a) lim⁡x→0−f(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to0^-}f(x)=-1, lim⁡x→0+f(x)=1\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1, lim⁡x→0−g(x)=1\displaystyle \lim_{x\to0^-}g(x)=1, lim⁡x→0+g(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to0^+}g(x)=-1.

b) lim⁡x→0h(x)=−1\displaystyle \lim_{x\to0}h(x)=-1, lim⁡x→0k(x)=1\displaystyle \lim_{x\to0}k(x)=1.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 16

2 podpunkty

zgodne z kluczem
Pokaż rozwiązanie
Do zeszytu

Jeżeli n∈Zn\in\mathbb Z, to dla x→n+x\to n^+ mamy [x]→n,x−[x]→0,[x]\to n,\qquad x-[x]\to0, a dla x→n−x\to n^-: [x]→n−1,x−[x]→1.[x]\to n-1,\qquad x-[x]\to1.

a) Bezpośrednio z tych własności:

\lim_{x\to2^+}f(x)&=2,& \lim_{x\to5^-}f(x)&=4,& \lim_{x\to-1^+}f(x)&=-1,\\ \lim_{x\to-2^-}f(x)&=-3,& \lim_{x\to4^+}g(x)&=0,& \lim_{x\to4^-}g(x)&=1,\\ \lim_{x\to-5^-}g(x)&=1. \end{aligned}$$ **b)** Gdy $c$ nie jest całkowite, obie granice funkcji $f$ są równe $[c]\in\mathbb Z$, a obie granice $g$ są równe $c-[c]\in(0;1)$, więc nie mogą być równe. Wystarczy zatem rozważyć $c=n\in\mathbb Z$ i użyć czterech wartości jednostronnych zapisanych wyżej. Otrzymujemy kolejno: $$n=0,\qquad n-1=0,\qquad n-1=1,\qquad n=1.$$
Odpowiedź

a) I. 22; II. 44; III. −1-1; IV. −3-3; V. 00; VI. 11; VII. 11.

b) I. c=0c=0; II. c=1c=1; III. c=2c=2; IV. c=1c=1.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem