MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 217

Odległość środków wynosi $2$, a promienie $1$ i $x$. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy $|1-x|<2<1+x$, jeden przy równości jednego z warunków, a zero poza tym zakresem.

Dla $x<1$ bliskich $1$ zachodzi $1+x<2$, więc $f(x)=0$; dla $x>1$ bliskich $1$ mamy dwa przecięcia. Dla $x<3$ bliskich $3$ są dwa przecięcia, natomiast dla $x>3$ zachodzi $x-1>2$ i przecięć nie ma.

a) Iloraz jest równy $-1$ dla $x<-2$ i $1$ dla $x>-2$. Zatem granice jednostronne w $-2$ wynoszą $-1$ i $1$.

b) Ponieważ $\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$, funkcja jest równa $\frac{|x-1|}{x-1}$. Dla $x<1$ przyjmuje $-1$, a dla $x>1$ wartość $1$. Granice jednostronne znów są różne.

a) Bezpośrednie podstawienie z prawej daje $\frac{0+1}{1+1}=\frac12$.

b) $\frac{4-x}{\sqrt{4-x}}=\sqrt{4-x}\to0$.

c) Dla $x>2$: $\frac{x-2}{\sqrt{(x-2)(x+2)}}=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}\to0$.

d) $\frac{x-\sqrt x}{\sqrt x}=\sqrt x-1\to-1$.

e) Po rozkładzie: $\frac{(2x-1)(x+1)}{-3(2x-1)(2x+1)} =-\frac{x+1}{3(2x+1)}\to-\frac14$.

f) $\frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)}=\frac5{x-2}\to-1$.

a) Dla $x\ne0$: $\frac{x^2-x}{x^2+x}=\frac{x-1}{x+1}$. Z obu stron przy $x\to0$ wyrażenie dąży do $-1$. Funkcja nie jest jednak określona w $0$, więc granica nie jest wartością funkcji w tym punkcie.

b) Mianownik $|x^2-1|$ jest dodatni po obu stronach każdego z punktów $\pm1$. Licznik dąży do $-2$ przy $x\to-1$ i do $2$ przy $x\to1$. Dlatego obie granice jednostronne przy $-1$ są równe $-\infty$, a obie przy $1$ są równe $+\infty$. Funkcja nie jest określona ani w $-1$, ani w $1$.

Przy $x\to3^-$ obowiązuje wzór $m-x$, więc granica lewostronna wynosi $m-3$. Przy $x\to3^+$ obowiązuje wzór $2x+1$, więc granica prawostronna wynosi $7$.

Warunek istnienia granicy daje $m-3=7$, zatem $m=10$. Wspólna wartość granic to $7$; wartość $f(3)=5$ nie ma na nią wpływu.

Rozpisujemy funkcję: dla $x<1$ mamy $|x-1|=1-x$, więc $f(x)=\frac{a(x-1)}{1-x}=-a$. Dla $x>1$ mamy $|x-1|=x-1$, więc $f(x)=a$. Zatem granice jednostronne wynoszą odpowiednio $-a$ i $a$, a ich suma jest równa zeru dla każdego rzeczywistego $a$.

Granica lewostronna w $-1$ wynosi $(-1+2)^{12}+a=1+a$. Granica prawostronna wynosi $\frac{\sqrt{-1+2}+3}{-1+2}=4$. Funkcja ma granicę wtedy i tylko wtedy, gdy $1+a=4$, czyli $a=3$.