MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 215

Podstawiamy argumenty, ponieważ mianowniki są niezerowe: $\frac{1+t}{3}+\frac{\sqrt2+t}{2\sqrt2+1}=1+\sqrt2$. Po pomnożeniu przez $3(2\sqrt2+1)$: $5\sqrt2+1+t(2\sqrt2+4)=15+9\sqrt2$. Stąd $t=\frac{14+4\sqrt2}{4+2\sqrt2} =\frac{10-3\sqrt2}{2}$.

Korzystamy z granicy $\frac{\sin u}{u}\to1$ dla $u\to0$.

a) $\frac12\frac{\sin x}{x}\to\frac12$.

b) $2\frac{\sin2x}{2x}\to2$.

c) Ponieważ $\cos x\tan x=\sin x$, granica wynosi $1$.

d) $\sin(x+\pi)=-\sin x$, więc granica wynosi $-1$.

e) $1-\cos^2x=\sin^2x$, zatem $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\to1$.

f) $\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\frac1{\cos x}\to1$.

a) Oznaczmy $u=\sqrt[3]{1+x}$ i $v=\sqrt[3]{1-x}$. Wtedy $u-v=\frac{u^3-v^3}{u^2+uv+v^2}=\frac{2x}{u^2+uv+v^2}$. Po podzieleniu przez $x$ i przejściu do granicy otrzymujemy $\frac23$.

b) Dla $u=\sqrt[3]{2-x}$ mamy $1-u=\frac{1-u^3}{1+u+u^2}=\frac{x-1}{1+u+u^2}$. Iloraz jest więc równy $1+u+u^2$ i dąży do $3$.

c) Dla $u=\sqrt[3]{x-1}$: $u-2=\frac{x-9}{u^2+2u+4}$, a $x^2-8x-9=(x-9)(x+1)$. Po skróceniu granica wynosi $\frac1{(4+4+4)\cdot10}=\frac1{120}$.

Ze skanu odczytujemy, że licznik pierwszego ułamka to $\sqrt3\,a\cos(x-2)$. Po podstawieniu $x=2$ nierówność ma postać $\frac{\sqrt3\,a}{2a^2+1}+\frac12>1$. Ponieważ $2a^2+1>0$, jest ona równoważna: $2\sqrt3\,a>2a^2+1$, $2a^2-2\sqrt3\,a+1<0$. Pierwiastki trójmianu to $\frac{\sqrt3-1}{2}$ oraz $\frac{\sqrt3+1}{2}$. Współczynnik przy $a^2$ jest dodatni, więc nierówność zachodzi między nimi.

a) $\frac{\sin2x}{\sin x}=2\cos x$ dla $x\ne0$, więc granica wynosi $2$.

b) Korzystamy z $\cos2x=2\cos^2x-1=(\sqrt2\cos x-1)(\sqrt2\cos x+1)$. Po skróceniu iloraz dąży do $\frac1{\sqrt2\cos\frac\pi4+1}=\frac12$.