MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 214

Korzystamy z ciągłości danych funkcji.

a) $4x_0-5=7$, więc $x_0=3$.

b) $x_0^2-5x_0+9=3$, czyli $x_0^2-5x_0+6=(x_0-2)(x_0-3)=0$.

c) $|x_0|-5=-1$, więc $|x_0|=4$.

Funkcje trygonometryczne są ciągłe w rozważanych punktach.

a) $\sin\left(-\frac\pi3\right)\cos\left(-\frac\pi3\right) =-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12=-\frac{\sqrt3}{4}$.

b) $\frac{\sin\frac\pi2+1}{\cos\frac\pi2+1}=\frac2{1}=2$.

c) $\frac{\tan\frac\pi6}{\cos\frac\pi6} =\frac{1/\sqrt3}{\sqrt3/2}=\frac23$.

a) $-2+a=2$, więc $a=4$.

b) $(a+1)^2=2$, stąd $a+1=\pm\sqrt2$ i $a=-1\pm\sqrt2$.

c) Po podstawieniu $x=0$ granica wynosi $-a$. Równanie $-a=2$ daje $a=-2$.

Mamy $g(-6)=\frac13(-6)-5+p=p-7$, $g(12)=\frac13(12)-5+p=p-1$. Liczby są przeciwne, gdy ich suma jest równa zeru: $(p-7)+(p-1)=0$. Stąd $2p=8$, czyli $p=4$.

Oznaczmy $F=f(3)$ i $G=g(3)$. Z danych: $F+G=24$, $3F-5G=40$. Po podstawieniu $F=24-G$ otrzymujemy $72-8G=40$, zatem $G=4$ i $F=20$. Szukana granica wynosi więc $\frac{2F+3G}{2}=\frac{40+12}{2}=26$.

Licznik rozkłada się na czynniki: $x^2+3mx-4m^2=(x-m)(x+4m)$. Dla $x\ne m$ iloraz jest równy $x+4m$, więc jego granica przy $x\to m$ wynosi $5m$. Rozwiązujemy $5m=m^2-36$, czyli $m^2-5m-36=(m-9)(m+4)=0$.

W obu podpunktach oznaczmy przez $L$ granicę funkcji $f$. Warunek $L=\frac1L$ daje $L^2=1$, czyli $L=1$ lub $L=-1$.

a) $L=\frac{6-m}{6}$. Równania $\frac{6-m}{6}=\pm1$ dają $m=0$ lub $m=12$.

b) $L=\frac{(2-1)(2-m)}2=\frac{2-m}{2}$. Równania $\frac{2-m}{2}=\pm1$ dają $m=0$ lub $m=4$.