MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 213

W każdym podpunkcie można podstawić argument bezpośrednio.

a) $\frac{\sqrt4}{-2-\sqrt1}=-\frac23$.

b) $\sqrt1(\sqrt1-1)=0$.

c) $\frac{\sqrt{5-|-1|}}{2^2-\sqrt4}=\frac2{2}=1$.

Rozkładamy wielomiany i skracamy czynnik zerujący się w punkcie granicznym.

a) $\frac{2(x-2)}{(x-2)(x+3)}\to\frac25$.

b) $\frac{(x-1)(x+8)}{(x-1)(2x-3)}\to-9$.

c) $\frac{(x-4)^3}{(x-4)(x-1)}=\frac{(x-4)^2}{x-1}\to0$.

d) $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}\to\frac6{27}=\frac29$.

e) $\frac{(x+1)(4-9x)}{(x+1)(x^2-x+1)}\to\frac{13}{3}$.

f) $\frac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{x-2}\to4\cdot8=32$.

g) $\frac{x(x-5)(x+5)}{(x-5)(x+1)}\to\frac{50}{6}=\frac{25}{3}$.

h) $\frac{(x-1)(4x-1)}{(x-1)(x^2+x+3)}\to\frac35$.

i) $\frac{(2x+1)(x-1)(x+1)}{(2x+1)(x+1)}=x-1\to-\frac32$.

Usuwamy nieoznaczoność przez mnożenie przez wyrażenie sprzężone.

a) $\frac{x-16}{\sqrt x-4}=\sqrt x+4\to8$.

b) $\frac{\sqrt x-\sqrt3}{x-3}=\frac1{\sqrt x+\sqrt3}\to\frac{\sqrt3}{6}$.

c) $\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\frac1{\sqrt{x+2}+2}\to\frac14$.

d) $\frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1}=\frac1{\sqrt{x+2}+1}\to\frac12$.

e) Po pomnożeniu przez sprzężenie: $\frac{\sqrt{4x-1}-1}{2x-1}=\frac2{\sqrt{4x-1}+1}\to1$.

f) Analogicznie: $\frac{\sqrt{5+3x}-2}{6x+2}=\frac1{2(\sqrt{5+3x}+2)}\to\frac18$.

Funkcje są ciągłe, więc $\displaystyle\lim_{x\to k}f(x)=|k|+k$ oraz $\displaystyle\lim_{x\to k}g(x)=|k|-k$.

a) Równość daje $2k=0$, czyli $k=0$.

b) Iloczyn jest równy $(|k|+k)(|k|-k)=k^2-k^2=0$ dla każdego $k$.

c) Różnica wynosi $2k$, więc jest ujemna dokładnie dla $k<0$.

Z warunku $a+b=0$ wynika $b=-a$. Wielomian $f$ jest ciągły, a ponadto jest funkcją nieparzystą: $f(-a)=(-a)^3-(-a)=-(a^3-a)=-f(a)$. Zatem $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to b}f(x) =f(a)+f(-a)=0$, co dowodzi tezy.

Miejscem zerowym $f$ jest $2$, a miejscem zerowym $g$ jest $1$.

a) $g(2)=\frac14$, więc $\displaystyle\lim_{x\to2}h(x)=f\left(\frac14\right) =\frac{\frac14-2}{\frac14+1}=-\frac75$.

b) $g(1)=0$, więc $\displaystyle\lim_{x\to1}h(x)=f(0)=-2$.