MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 212

Wielomiany i funkcja $|x|$ są ciągłe, więc podstawiamy wartość argumentu.

a) $3^2+2\cdot3-7=8$.

b) $(4-|-3|)^2=(4-3)^2=1$.

c) $4-9\cdot8+8^2=4-72+64=-4$.

We wszystkich trzech przypadkach mianownik po podstawieniu jest różny od zera.

a) $\frac{2-3}{2\cdot2+1}=-\frac15$.

b) $\frac{3\cdot0^2-5}{2\cdot0^2+4\cdot0+3}=-\frac53$.

c) $\frac{(-1)^2+3(-1)-5}{-1+2}+3(-1)=-7-3=-10$.

Korzystamy ze wzoru $\frac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$ dla $x\ne1$. Gdy $x\to1$, każdy z $n$ składników dąży do $1$, więc granica wynosi $n$.

Funkcja $f$ jest ciągła i $f(2)=11$.

Dalej $g(x)=f(f(x))=3(3x+5)+5=9x+20$, zatem $\displaystyle\lim_{x\to2}g(x)=38$.

Ponadto $h(x)=\frac{3x+5}{x}$, a mianownik przy $2$ jest różny od zera, więc $\displaystyle\lim_{x\to2}h(x)=\frac{11}{2}$.

Dla prostopadłościanu o krawędziach $x,x,1$: $v(x)=x^2$, $p(x)=2x^2+4x$, $k(x)=8x+4$. Są to wielomiany, więc granice w punkcie $4$ są ich wartościami: $v(4)=16$, $p(4)=32+16=48$, $k(4)=32+4=36$.

Rozkładamy licznik i mianownik: $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$, $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$. Dla $x\ne-2$ skracamy czynnik $x+2$: $\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x(x-2)}{x^2-2x+4} =\frac{(-2)(-4)}{4+4+4}=\frac23$.