MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 211

a) Przy $x\to2^-$ otrzymujemy $x+1\to3$, a przy $x\to2^+$: $2x-2+m\to m+2$. Równość $m+2=3$ daje $m=1$, a granica wynosi $3$.

b) Przy $x\to4^-$ środkowy wzór daje $m+6$, a przy $x\to4^+$ pierwszy wzór daje $5$. Równość $m+6=5$ daje $m=-1$, a granica wynosi $5$.

a) $h(x)=(x-4)-(2x+5)=-x-9$. Jest to wielomian, więc $\displaystyle\lim_{x\to-10}h(x)=-(-10)-9=1$.

b) $h(x)=\frac{2-x}{4x-1}$. Mianownik w punkcie $1$ jest równy $3\ne0$, zatem $\displaystyle\lim_{x\to1}h(x)=\frac{2-1}{4-1}=\frac13$.

Granica lewostronna w zerze wynosi $2p$, a prawostronna $15-p^2$. Granica istnieje tylko wtedy, gdy $2p=15-p^2$, czyli $p^2+2p-15=(p+5)(p-3)=0$. Jedynymi wartościami dającymi równe granice są $p=-5$ i $p=3$. Zostały one wykluczone w założeniu, więc dla każdego dopuszczalnego $p$ granice jednostronne są różne.

Oba ciągi spełniają $a_n>1$ i $b_n>1$. Dla $x>1$ mamy $f(x)=\frac{x-1}{x-1}=1$, więc $f(a_n)=f(b_n)=1$ dla każdego $n$ i obie granice ciągów wartości wynoszą $1$.

Nie wystarcza to do wyznaczenia granicy funkcji, bo oba ciągi zbliżają się do $1$ z prawej. Dla $c_n=1-\frac1n<1$ mamy $f(c_n)=-1$.

a) Granica z lewej wynosi $2+2=4$, a z prawej jest równa stałej $a$. Musi więc zachodzić $a=4$.

b) Wartość przypisana funkcji dokładnie w punkcie $2$ nie wpływa na granicę. Dla $x\ne2$ wielomian $x^2-2x+4$ jest ciągły i dąży do $4$, niezależnie od $a$.

Funkcja przyjmuje wartość $1$, gdy $x^2-4>0$, oraz $-1$, gdy $x^2-4<0$. Znak wyrażenia zmienia się w punktach $x=-2$ i $x=2$, więc w każdym z nich granice jednostronne są różne. Poza tymi punktami funkcja jest lokalnie stała.

Granica istnieje, gdy granice jednostronne w zerze są równe.

a) Z lewej otrzymujemy $g(0)+m=-5+m$, a z prawej $h(0)=-1$. Równanie $-5+m=-1$ daje $m=4$.

b) Z lewej otrzymujemy $g(0)+m=m$, a z prawej $h(0)=1$. Zatem $m=1$.

Dla tych wartości wykresy odpowiednich gałęzi zbliżają się w punkcie $x=0$ do tej samej wysokości.