MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 210

Dla $x\ne2$ upraszczamy $f(x)=\frac{2x(x-2)}{x-2}=2x$. Wykres $f$ jest więc prostą $y=2x$ z usuniętym punktem $(2,4)$. Wykres $g$ jest prostą $y=6-x$.

Warunek wspólnej wartości granic ma postać $2k=6-k$, stąd $3k=6$ i $k=2$. Wtedy obie granice są równe $4$.

a) $6x_0-1=5$, więc $x_0=1$.

b) $\frac{x_0-5}{x_0+8}=2$, czyli $x_0-5=2x_0+16$, stąd $x_0=-21$.

c) Dla $x\ne3$ iloraz jest równy $x$, a w punkcie $3$ ma granicę równą $3$. Zatem $x_0=3$.

d) Dla $x\ne\pm1$ mamy $\frac{2x^2-x-1}{x^2-1}=\frac{(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x+1}{x+1}$. Równanie $\frac{2x_0+1}{x_0+1}=3$ daje $x_0=-2$.

Dla $x>0$ mamy $\frac{x}{|x|}=1$, a dla $x<0$ mamy $\frac{x}{|x|}=-1$. Zatem $\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=1$, natomiast $\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=-1$. Granice jednostronne są różne.

Dla $x\ne0$ rozwijamy licznik i skracamy przez $x$.

a) $\frac{(x+1)^2-1}{x}=\frac{x^2+2x}{x}=x+2\to2$.

b) $\frac{(x+1)^3-1}{x}=x^2+3x+3\to3$.

c) $\frac{(x+1)^4-1}{x}=x^3+4x^2+6x+4\to4$.

Lewa granica w punkcie $5$ wynosi $\displaystyle\lim_{x\to5^-}(x^2-3x)=25-15=10$. Wystarczy dobrać funkcję, której granica prawostronna w $5$ też wynosi $10$. Przykład $g(x)=10$ spełnia ten warunek.

Najpierw wyznaczamy granice jednostronne funkcji $f$: przy $-2$ są to $2$ i $4$, przy $-1$ obie wynoszą $3$, a przy $1$ są to $1$ i $-1$.

a) Dodanie $3$ nie zmienia istnienia granicy. Istnieje tylko granica w $-1$ i wynosi $3+3=6$.

b) Po zastosowaniu wartości bezwzględnej przy $-2$ otrzymujemy granice $2$ i $4$, przy $-1$ obie $3$, a przy $1$ obie $1$. Granice istnieją więc w $-1$ i $1$.

c) Dla $g(x)=f(|x|)$ w otoczeniu $-2$ argument $|x|$ pozostaje bliski $2$, gdzie $f(t)=2t-3$, więc granica wynosi $1$. Przy $-1$ i $1$ wartości $|x|$ dochodzą do $1$ z dwóch stron, dla których granice $f$ są różne.

Ponieważ funkcja jest ciągła, warunek granicy jest równoważny równaniu $\left|\left||a|-4\right|-2\right|=1$. Stąd $\left||a|-4\right|=1$ lub $\left||a|-4\right|=3$. Otrzymujemy kolejno $|a|\in\{3,5\}$ oraz $|a|\in\{1,7\}$.