MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 209

a) Mianownik w punkcie $-2$ jest różny od zera, więc $\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{8-x}{8+x}=\frac{10}{6}=\frac53\ne\frac35$.

b) Dla $x\ne0$ iloraz jest równy $x^2-1$, zatem granica wynosi $-1$, a nie $0$.

c) Dla $x\ne1$ mamy $\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$, więc granica istnieje i jest równa $3$.

Szukamy funkcji liniowej przechodzącej przez punkty $(2,3)$ i $(5,-3)$. Jej współczynnik kierunkowy jest równy $\frac{-3-3}{5-2}=-2$. Z równania $3=-2\cdot2+b$ otrzymujemy $b=7$. Funkcja $f(x)=-2x+7$ jest ciągła, więc ma wymagane granice.

Na każdym rysunku sprawdzamy trzy informacje: czy istnieje punkt wykresu dla $x=4$, czy obie gałęzie dążą do tej samej wysokości oraz czy ta wysokość jest wartością funkcji.

Dla $f_1$ wykres jest ciągły w $4$. Dla $f_2$ istnieje granica wyznaczona przez pusty punkt, lecz wartość funkcji jest inna. Dla $f_3$ jest tylko pusty punkt na ciągłej prostej. Wykresy $f_4$ i $f_5$ mają różne granice jednostronne, choć funkcje są określone w $4$.

Dla argumentów mniejszych od $1$ korzystamy z pierwszego wzoru, a dla większych od $1$ z drugiego: $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=2-1=1$, $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=1-2=-1$. Granice jednostronne są różne, więc granica dwustronna nie istnieje.