MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 202

Najmniejsza trzycyfrowa liczba podzielna przez $3$ to $102$. Pięć kolejnych takich liczb to

$102,105,108,111,114.$

Ostatnim wyrazem jest więc $114$.

Różnica kolejnych wyrazów jest stała i wynosi

$a_{n+1}-a_n=k^2-4k=k(k-4).$

Ciąg jest malejący, gdy ta różnica jest ujemna:

$k(k-4)<0\iff 0<k<4.$

Mamy $a_1=1$ i $a_2=3$. Ponadto

=3(2^n-1)-2(2^{n-1}-1) =2^{n+1}-1=a_{n+1}.$$ Zatem ciąg spełnia rekurencję podaną w odpowiedzi C.

Dwucyfrowe wielokrotności $4$ tworzą ciąg od $12$ do $96$. Jest ich $22$, a ich suma wynosi

$\frac{22}{2}(12+96)=1188.$

Dwucyfrowych wielokrotności $9$ od $18$ do $99$ jest $10$, a ich suma to

$\frac{10}{2}(18+99)=585.$

Liczby podzielne jednocześnie przez $4$ i $9$ to $36$ i $72$; ich sumę $108$ policzyliśmy dwukrotnie. Szukana suma jest więc równa

$1188+585-108=1665.$

Z własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego otrzymujemy

$2b=a+7,$ $(b-2)^2=3a.$

Po podstawieniu $a=2b-7$:

$(b-2)^2=6b-21,$ $b^2-10b+25=0,$

więc $b=5$ i $a=3$. Zatem $a+b=8$.

Po $n$ latach dług wynosi $1000\cdot1{,}05^n$, więc same odsetki są równe

$1000(1{,}05^n-1).$

Dla $n=15$ otrzymujemy około

$1000(1{,}05^{15}-1)\approx1078{,}93\text{ zł},$

czyli po zaokrągleniu $1079$ zł.

Obliczamy granice z wyrazów wiodących:

\text{B: }-14,\qquad \text{C: }0,\qquad \text{D: }\frac{9}{3}=3.$$ Jedyną liczbą pierwszą wśród tych granic jest $3$.

Dla $k\ne0$ dzielimy licznik i mianownik przez $n^2$:

$a_n=\frac{-2n+\frac1n+\frac9{n^2}}{k}.$

Wyrażenie zachowuje się jak $-\frac2k n$. Dąży ono do $\infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $-\frac2k>0$, czyli $k<0$. Dla $k=0$ wzór nie określa ciągu.

Suma wszystkich wyrazów jest równa

$S=\frac{a_1}{1-q}.$

Wyrazy o numerach nieparzystych tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q^2$, więc

$S_{\mathrm{niep}}=\frac{a_1}{1-q^2}.$

Zatem

$\frac{S}{S_{\mathrm{niep}}}=\frac{1-q^2}{1-q}=1+q=\frac34,$

skąd $q=-\frac14$.