MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 201

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.

a)

=\frac{20}{4}=5.$$ **b)** $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+5n+4}{n(3-5n)} =\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac5n+\frac4{n^2}}{\frac3n-5} =-\frac15.$$ **c)** Licznik ma składnik wiodący $4n\cdot3n\cdot5n=60n^3$, a mianownik $5n^3$, więc granica wynosi $12$.

W mianowniku jest $n$ składników od $n+1$ do $2n$, więc

$(n+1)+(n+2)+\ldots+2n=\frac n2(3n+1).$

Zatem

=2-\frac4{3n^2+n}.$$ Mianownik ułamka jest dodatni i rośnie, więc $\frac4{3n^2+n}$ maleje. Wobec tego $(a_n)$ jest rosnący. Ponadto $$\lim_{n\to\infty}a_n=2.$$

a)

$\frac{7\cdot3^n}{3^n-2}=\frac7{1-\frac2{3^n}}\longrightarrow7.$

b) Skan strony pokazuje w mianowniku $3^{2n+1}$; w źródłowym Markdownzie OCR pominął cyfrę $2$. Zatem

=\frac13\left(\left(\frac29\right)^n-1\right) \longrightarrow-\frac13.$$ **c)** Wyłączamy dominującą potęgę spod pierwiastka: $$\sqrt[n]{2^n+5^n}=5\sqrt[n]{1+\left(\frac25\right)^n}\longrightarrow5.$$ **d)** Analogicznie $$\sqrt[n]{3^n+4\cdot7^n} =7\sqrt[n]{\left(\frac37\right)^n+4}\longrightarrow7.$$

Porównujemy stopnie wielomianów.

a) Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika, więc granica wynosi $0$.

b) Iloraz zachowuje się jak $\frac{n^4}{n^3}=n$, zatem dąży do $\infty$.

c) Stopień licznika wynosi $6$, a mianownika $9$, więc granica jest równa $0$.

d) Wyrażenie ma asymptotycznie postać

$\frac{n^2(-7n^4)}{n\cdot n\cdot2n^3}=-\frac72n,$

więc jego granicą jest $-\infty$.

a) Po usunięciu niewymierności:

=\frac4{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-3}}\longrightarrow0.$$ **b)** Podobnie $$a_n=\frac{2n^2-n-5}{\sqrt{3n^2+1}+\sqrt{n^2+n+6}}.$$ Licznik ma rząd $n^2$, a mianownik rząd $n$, przy czym oba są dodatnie dla dostatecznie dużych $n$. Zatem $a_n\to\infty$.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

a) $0,(5)=\frac5{10}+\frac5{10^2}+\ldots=\frac59$.

b) $1,(36)=1+\frac{36}{99}=1+\frac4{11}$.

c) $2,0(45)=2+\frac{45}{990}=2+\frac1{22}$.

d) $4,(063)=4+\frac{63}{999}=4+\frac7{111}$.

Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|q|<1$.

a) Tutaj $q=3x$, więc

$|3x|<1\iff -\frac13<x<\frac13.$

b) Iloraz wynosi

$q=-\frac{4-x}{x-3}=\frac{x-4}{x-3}.$

Warunek zbieżności daje

\iff (x-4)^2<(x-3)^2 \iff x>\frac72.$$

Pole wyjściowego trójkąta oznaczmy przez $P$. Jego przyprostokątne mają długość $\frac{a}{\sqrt2}$, więc

$P=\frac12\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2=\frac{a^2}{4}.$

a) Niech $T$ będzie polem każdego z trzech przystających trójkątów pozostałych po pierwszym wpisaniu prostokąta. Ponieważ konstrukcję powtarzamy w podobnych trójkątach, w każdym kroku łączne pole pozostawionych trójkątów stanowi tę samą część

$\rho=\frac{3T}{P},\qquad 0<\rho<1,$

łącznego pola z poprzedniego kroku. Po $n$ krokach niewypełnione trójkąty mają zatem łączne pole $P\rho^n$. Suma pól wszystkich wpisanych do tego momentu prostokątów jest równa

$S_n=P-P\rho^n.$

Ponieważ $\rho^n\to0$, otrzymujemy

$\lim_{n\to\infty}S_n=P=\frac{a^2}{4}.$

b) Największy jest trójkąt wyjściowy. Jego pole wynosi $P=\frac{a^2}{4}$, czyli jest równe granicy obliczonej w podpunkcie a).