MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 203

Po wyłączeniu $n^2$ w nawiasie w liczniku otrzymujemy

=\lim_{n\to\infty}\frac{n^6(p+\frac4n)^3}{n^6(5-\frac4{n^6})} =\frac{p^3}{5}.$$ Z warunku $\frac{p^3}{5}=-\frac85$ wynika $p^3=-8$, czyli $p=-2$.

Rozwijamy kwadraty:

=\frac{5n^2+16n+3}{4n^2-4n+1}.$$ Po podzieleniu przez $n^2$ otrzymujemy granicę $$\frac54=1{,}25.$$ Cyfra jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku to kolejno $1$, $2$, $5$.

Niech $u$ i $r>0$ będą pierwszym wyrazem i różnicą rosnącego ciągu arytmetycznego. Wtedy

$a_3=u,\qquad a_2=u+r,\qquad a_1=u+3r.$

Warunek geometryczności daje

$(u+r)^2=u(u+3r),$

czyli $r^2=ur$. Ponieważ $r>0$, mamy $u=r$. Zatem

$(a_1,a_2,a_3)=(4r,2r,r).$

Z równania $7r=\frac{21}{4}$ wynika $r=\frac34$, a więc $a_1=3$.

Z arytmetyczności $(a,b,c)$ mamy $c=2b-a$. Warunek geometryczności drugiego ciągu ma postać

=\frac1a\cdot\frac1{2a+2b+c}.$$ Po podstawieniu $c=2b-a$: $$4a(a+4b)=9b^2.$$ Dzielimy przez $b^2>0$ i oznaczamy $t=\frac ab>0$: $$4t^2+16t-9=0.$$ Stąd $t=\frac12$ lub $t=-\frac92$; drugi pierwiastek odrzucamy. Iloraz ciągu geometrycznego wynosi $$q=\frac{\frac2{3b}}{\frac1a}=\frac{2a}{3b}=\frac{2t}{3}=\frac13.$$

Zapisujemy układ przez $a_1$ i $q$:

$a_1q^2(1+q^3)=-84,$ $a_1q^3(1+q^3)=168.$

Dzielenie drugiego równania przez pierwsze daje $q=-2$. Wtedy

$a_1\cdot4(1-8)=-84,$

więc $a_1=3$. Dla $q=-2$ suma ma postać

$S_n=3\frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}=1-(-2)^n.$

Warunek $S_n=32769$ daje

$(-2)^n=-32768=-2^{15},$

zatem $n=15$.

Iloraz ciągu wynosi

$q=\frac1{2x-371}.$

Wszystkie wyrazy mają być dodatnie, więc $q>0$. Szereg jest zbieżny, gdy $|q|<1$. Łącznie otrzymujemy

$0<\frac1{2x-371}<1,$

co jest równoważne warunkowi $2x-371>1$, czyli $x>186$. Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $187$.

Suma współczynników jest równa $W(1)$, więc $W(1)=0$ i liczba $1$ jest jednym z pierwiastków. Trzy pierwiastki mają postać $t-3,t,t+3$. Liczba $1$ może być kolejno pierwszym, drugim albo trzecim z nich.

1. Dla $t-3=1$ pierwiastki to $1,4,7$, więc

$W(x)=(x-1)(x-4)(x-7)=x^3-12x^2+39x-28.$

2. Dla $t=1$ pierwiastki to $-2,1,4$, więc

$W(x)=(x+2)(x-1)(x-4)=x^3-3x^2-6x+8.$

3. Dla $t+3=1$ pierwiastki to $-5,-2,1$, więc

$W(x)=(x+5)(x+2)(x-1)=x^3+6x^2+3x-10.$