MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 196

Ze skanu odczytujemy długości poziomych boków $x=1,\frac12,\frac14,\ldots$. Odpowiadające im wysokości są równe wartościom paraboli, czyli $x^2=1,\frac14,\frac1{16},\ldots$; to właśnie one są krótszymi bokami prostokątów (poza pierwszym, który jest kwadratem).

Pola wynoszą zatem $1\cdot1=1,\qquad \frac12\cdot\left(\frac12\right)^2=\frac18,\qquad \frac14\cdot\left(\frac14\right)^2=\frac1{64},\ldots$ Tworzą szereg geometryczny o pierwszym wyrazie $1$ i ilorazie $\frac18$, więc $S=\frac1{1-1/8}=\frac87.$

a) Oznaczmy pierwszy wyraz przez $a$ i iloraz przez $q$. Warunki dają $\frac a{1-q}=-4,\qquad \frac{a^3}{1-q^3}=-192.$ Po podstawieniu $a=-4(1-q)$ i użyciu $1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$ otrzymujemy $2q^2+5q+2=0,$ czyli $q=-\frac12$ lub $q=-2$. Druga wartość nie spełnia warunku zbieżności $|q|<1$, zatem $q=-\frac12$, a następnie $a=-6$.

b) Jeśli $S_{10}$ jest sumą dziesięciu wyrazów, to suma ich odwrotności wynosi $\frac{S_{10}}{a_1^2q^9}$. Podany stosunek jest więc równy $a_1^2q^9=a_1a_{10}=18$. Z $a_{10}=\frac3{16}$ dostajemy $a_1=96$ oraz $q^9=\frac1{512}$, czyli $q=\frac12$. Suma wszystkich wyrazów wynosi $192$.

a) Z rekurencji kolejno otrzymujemy $a_3=-a_1=-1$, $a_4=-a_2=-1$, $a_5=-a_3=1$ i $a_6=-a_4=1$.

b) Ciąg $(a_n)$ powtarza blok $(1,1,-1,-1)$. Grupujemy więc szereg $(b_n)$ w bloki po cztery wyrazy. Pierwszy blok ma sumę $\frac13+\frac19-\frac1{27}-\frac1{81}=\frac{32}{81},$ a każdy następny jest $81$ razy mniejszy. Zatem suma wynosi $\frac{32/81}{1-1/81}=\frac25.$

a) Wyrazy o numerach parzystych to $a_{2k}=3(\frac1{25})^k$. Ich suma wynosi $\frac{3/25}{1-1/25}=\frac18.$

b) Suma wszystkich wyrazów to $\frac{3/5}{1-1/5}=\frac34$. Wyrazy o numerach podzielnych przez $3$ mają sumę $\frac{3/125}{1-1/125}=\frac3{124}.$ Po odjęciu otrzymujemy $\frac34-\frac3{124}=\frac{45}{62}$.

a) Iloraz wynosi $q=-\tan x$. Przy zbieżności $|\tan x|<1$, więc $1+\tan x>0$. Suma ma postać $S=\frac1{1+\tan x}>0.$

b) Iloraz wynosi $q=-\frac1{2\sin^2x}$. Zbieżność wymaga $|q|<1$, czyli $2\sin^2x>1$. Wtedy $S=\frac{\sin^2x}{1+1/(2\sin^2x)}=\frac{2\sin^4x}{2\sin^2x+1}>0.$ W obu przypadkach dodatniość wynika bezpośrednio z warunku zbieżności.

Dla $|x|<1$ lewa strona ma sumę $\frac1{1-x}$. Rozważamy więc na przedziale $(-1;1)$ funkcję $g(x)=\frac1{1-x}-x.$ Jej pochodna to $g'(x)=\frac1{(1-x)^2}-1=\frac{x(2-x)}{(1-x)^2}.$ Funkcja maleje na $(-1;0)$, rośnie na $(0;1)$ i ma minimum $g(0)=1$. Ponadto $g(x)\to\frac32$ dla $x\to-1^+$, a $g(x)\to\infty$ dla $x\to1^-$. Prosta $y=m$ przecina więc oba ramiona dokładnie po jednym razie wtedy i tylko wtedy, gdy $1<m<\frac32$.

Z sumy szeregu geometrycznego mamy $\frac1{1-f(x)}=\frac1{4x-3x^2},$ stąd $f(x)=3x^2-4x+1$.

Warunek zbieżności $|f(x)|<1$ daje układ $-1<3x^2-4x+1<1.$ Pierwsza nierówność jest spełniona dla każdego $x$, a druga daje $0<x<\frac43$. Zatem dziedziną jest $(0;\frac43)$.

Wykres jest fragmentem paraboli skierowanej ramionami w górę, z wierzchołkiem $(\frac23,-\frac13)$; punkty końcowe $(0,1)$ i $(\frac43,1)$ są wyłączone.