MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 195

Są to sumy częściowe ciągów geometrycznych. Granica skończona istnieje dokładnie dla ilorazu o module mniejszym od $1$.

a) Iloraz wynosi $r=\frac2{x+1}$. Warunek $|r|<1$ daje $x<-3$ lub $x>1$, a suma szeregu wynosi $\frac{r}{1-r}=\frac2{x-1}.$

b) Iloraz wynosi $r=\sqrt2\cos x$. Warunek $|r|<1$ jest równoważny $|\cos x|<\frac{\sqrt2}{2}$, a granica wynosi $\frac{\sqrt2\cos x}{1-\sqrt2\cos x}$.

Oba szeregi są zbieżne, gdy $|2/x|<1$, czyli $|x|>2$. Wtedy równanie przyjmuje postać $15\frac1{1-2/x}=8\frac1{1-1/x^2}.$ Po uproszczeniu: $15(x^2-1)=8x(x-2),$ $7x^2+16x-15=0.$ Pierwiastki to $x=\frac57$ i $x=-3$; warunek zbieżności spełnia tylko drugi.

Niech $q$ będzie ilorazem ciągu. Wtedy $a_2=27q$ i $a_3=27q^2$. Warunek arytmetyczności liczb $a_2,a_3,6$ daje $2\cdot27q^2=27q+6,$ $18q^2-9q-2=0.$ Stąd $q=\frac23$ albo $q=-\frac16$; oba ilorazy mają moduł mniejszy od $1$. Suma wynosi odpowiednio $\frac{27}{1-2/3}=81$ albo $\frac{27}{1+1/6}=\frac{162}{7}$.

a) Ponieważ $a_{n+1}=a_n-\frac12$, mamy $b_{n+1}=9^{a_{n+1}}=9^{a_n}\cdot9^{-1/2}=\frac13b_n.$ Zatem $(b_n)$ jest geometryczny o ilorazie $\frac13$, więc jego szereg jest zbieżny.

b) Z warunku $\frac{b_1}{1-1/3}=4{,}5$ dostajemy $b_1=3$. Stąd $9^{a_1}=3$, czyli $a_1=\frac12$. Wobec tego $a_6=a_1+5r=\frac12-\frac52=-2.$

Niech $l_j$ oznacza długość łuku $j$-tego półokręgu. Mamy $l_1=1$ i $l_{j+1}=\frac12l_j$. Średnica półokręgu o długości łuku $l_j$ wynosi $d_j=\frac{2l_j}{\pi}$.

Kolejne końce leżą na wspólnej prostej, a całkowita rozpiętość nie przekracza sumy średnic:

Zatem wszystkie końce mieszczą się na odcinku długości $1{,}5$.

Trójkąt $OAB$ jest prostokątny równoramienny, a $OA=a$ jest jego przeciwprostokątną. Pierwszy pionowy odcinek łamanej ma więc długość $a/\sqrt2$, a pierwszy odcinek prostopadły do $OA$ ma długość $a/2$.

Po każdej parze konstrukcja powtarza się w skali $1/2$. Suma długości pionowych wynosi $\frac{a/\sqrt2}{1-1/2}=a\sqrt2,$ a suma odcinków ukośnych $\frac{a/2}{1-1/2}=a.$ Łączna długość to $a(\sqrt2+1)$.

a) Objętości tworzą szereg o pierwszym wyrazie $9^3=729$ i ilorazie $(\frac12)^3=\frac18$. Ich suma wynosi $\frac{729}{1-1/8}=\frac{5832}{7}=833\frac17\ \mathrm{cm}^3,$ czyli mniej niż $1000\ \mathrm{cm}^3$.

b) Pola powierzchni tworzą szereg o ilorazie $(\frac12)^2=\frac14$. Suma pól od drugiego sześcianu wynosi $P_1\frac{1/4}{1-1/4}=\frac13P_1$, więc szukany stosunek to $3$.