MATeMAtyka 3. Zbiór zadań — strona 197

Jedna z prostych reguł zgodnych z podanymi wyrazami jest następująca.

a) $a_n=n^2+2$, więc $a_8=66$, $a_9=83$.

b) $a_n=(n+1)^2$, więc $a_8=81$, $a_9=100$.

c) $a_n=2+(-1)^{n+1}$, więc $a_8=1$, $a_9=3$.

d) $a_n=\frac{n+1}{2n}$, więc $a_8=\frac9{16}$, $a_9=\frac{10}{18}=\frac59$.

Ponieważ $10\equiv3\pmod7$, kolejne reszty można otrzymywać, mnożąc poprzednią przez $3$ i ponownie biorąc resztę modulo $7$: $3,\ 2,\ 6,\ 4,\ 5,\ 1.$ Po sześciu krokach wraca reszta $1$ dla potęgi $10^6$, więc cykl powtarza się. Cztery następne reszty to $3,2,6,4$.

Podstawiamy kolejno $n=1,2,3,4,5,10$.

a) Dla $a_n=3n-1$ otrzymujemy $2,5,8,11,14$ oraz $a_{10}=29$.

b) Potęgi $(-\frac12)^n$ zmieniają znak naprzemiennie: $-\frac12,\frac14,-\frac18,\frac1{16},-\frac1{32}$, a $a_{10}=\frac1{1024}$.

c) $\sin\frac{8n+1}{4}\pi=\sin(2n\pi+\frac\pi4)=\frac{\sqrt2}{2}$ dla każdego $n$.

Przekształcamy $a_n=\frac{n+14}{n+2}=1+\frac{12}{n+2}.$ Aby $a_n$ było całkowite, liczba $n+2\ge3$ musi dzielić $12$. Możliwe dzielniki to $3,4,6,12$, co daje odpowiednio wartości $5,4,3,2$. Liczba $4$ nie jest pierwsza, pozostałe trzy są.

Rozwiązujemy równanie $a_n=10$ i sprawdzamy, czy $n$ jest dodatnią liczbą naturalną.

a) $2^n-6=10$ daje $2^n=16$, więc $n=4$.

b) $\frac{3n^2+5}{n+3}=10$ daje $3n^2-10n-25=0$, którego dodatnim całkowitym pierwiastkiem jest $n=5$.

c) $4n+\frac4n=10$ daje $2n^2-5n+2=0$. Pierwiastki to $2$ i $\frac12$, więc dopuszczalne jest $n=2$.

Wyraz ogólny ma postać $a_n=2+\frac1{n+1}$. Warunek przynależności do przedziału daje $0{,}01<\frac1{n+1}<0{,}1.$ Dla dodatniego mianownika jest to równoważne $10<n+1<100,$ czyli $10\le n\le98$. Liczba takich indeksów wynosi $98-10+1=89$.

Badamy różnicę kolejnych wyrazów lub upraszczamy wzór.

a) $a_n=-3n-7$, więc ciąg jest malejący.

b) $a_n=4-\frac5{n+1}$, więc jest rosnący.

c) $a_n=2+\frac2{n+4}$, więc jest malejący.

d) $a_n=(-1)^{n+1}$ zmienia wartości naprzemiennie, więc nie jest monotoniczny.

e) $a_n=2^{3-n}$ ma iloraz $\frac12$, więc jest malejący.

f) Dla $n\ge1$ mamy $a_n=|-(n+6)(n-1)|=(n+6)(n-1)$, a różnica kolejnych wyrazów jest dodatnia; ciąg jest rosnący.

a) $a_n=(n-3)^2$. Początkowo wartości maleją, na przykład $a_1=4>a_2=1>a_3=0$, lecz potem rosną: $a_4=1>a_3$.

b) $a_n=1+\frac2{2n-5}$. Mamy $a_1=\frac13$, $a_2=-1$ i $a_3=3$. Zatem najpierw następuje spadek, a potem wzrost.

W obu podpunktach znalezione trzy kolejne wyrazy wykluczają monotoniczność.

a) $a_{n+1}-a_n=4((n+1)^2-n^2)-k=8n+4-k.$ Najmniejsza wartość dla $n\ge1$ to $12-k$. Ciąg jest rosnący dokładnie wtedy, gdy $12-k>0$, czyli $k<12$.

b) $a_{n+1}-a_n=k\left(\frac{n+1}{n+2}-\frac n{n+1}\right)=\frac{k}{(n+1)(n+2)}.$ Mianownik jest dodatni, więc różnica jest dodatnia dokładnie dla $k>0$.

a) Z rekurencji $a_{n+1}-a_n=n^2-n+3=\left(n-\frac12\right)^2+\frac{11}{4}>0.$ Zatem ciąg jest ściśle rosnący.

b) Mamy $a_1=5>0$ i mnożymy kolejne wyrazy przez $n^2>0$, więc wszystkie pozostają dodatnie. Ponadto $a_2=1^2a_1=a_1$, a dla $n\ge2$ zachodzi $n^2>1$, zatem $a_{n+1}>a_n$. Ciąg jest niemalejący, a od drugiego wyrazu ściśle rosnący.